解説

直感的理解

閉管の共鳴実験です。水面が節、管口が腹になります。最初の共鳴で $l_1 + \Delta l = \dfrac{\lambda}{4}$ が成り立ちます。開口端補正 $\Delta l$ は管口の外側に腹がはみ出す分です。

Step 1：波長と開口端補正

音速 $V = 340$ m/s、振動数 $f = 420$ Hz として波長を求める：

$$ \lambda = \frac{V}{f} = \frac{340}{420} \fallingdotseq 80.95 \text{ cm} $$

(1) 1回目の共鳴 $l_1 = 19.0$ cm を用いて開口端補正を求める：

$$ \Delta l = \frac{\lambda}{4} - l_1 = \frac{80.95}{4} - 19.0 = 20.24 - 19.0 \fallingdotseq 1.2 \text{ cm} $$

管口の腹は管の上端より 約 1.2 cm 上。

(2) 管の長さ 59.0 cm のとき、共鳴が起こる距離

$n$ 回目の共鳴の条件：

$$ l_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4} - \Delta l $$

$n = 1$: $l_1 = \dfrac{80.95}{4} - 1.2 = 19.0$ cm ✓

$n = 2$: $l_2 = \dfrac{3 \times 80.95}{4} - 1.2 = 60.7 - 1.2 = 59.5$ cm

$l_2 = 59.5$ cm は管の長さ 59.0 cm を超えるため、共鳴位置は $l_1 = 19.0$ cm のみ。

(3) $l = 59.0$ cm で共鳴する最も低い振動数

基本振動（$n = 1$）で管いっぱいを使って共鳴するとき：

$$ l + \Delta l = \frac{\lambda_{\min}}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda_{\min} = 4(l + \Delta l) = 4(59.0 + 1.2) = 240.8 \text{ cm} $$ $$ f_{\min} = \frac{V}{\lambda_{\min}} = \frac{340}{2.408} \fallingdotseq 141 \text{ Hz} $$

答え：
(1) 管の上端より約 1.2 cm 上
(2) $l_1 = 19.0$ cm（59.0 cm の管で420Hzの場合）
(3) 最低振動数 $f \fallingdotseq 141$ Hz

補足：開口端補正の実験的決定

2回の共鳴位置 $l_1, l_2$ が分かれば $\lambda = 2(l_2 - l_1)$ で波長が求まり、開口端補正に依存しない値が得られます。そこから $\Delta l = \dfrac{\lambda}{4} - l_1$ で補正量を求めます。

Point

閉管の共鳴：$l_n + \Delta l = \dfrac{(2n-1)\lambda}{4}$。開口端補正は $\Delta l = \dfrac{\lambda}{4} - l_1$。同じ管で最低振動数は基本振動に対応する。

問題115 気柱の振動

解説