問題128 抵抗の接続

解説

直感的理解
直列接続は「一本道」で抵抗を順に通過するので合成抵抗は和。並列接続は「分かれ道」で電流が分散するので合成抵抗は小さくなります。

直列接続：$R_1 = 3.0$ $\Omega$、$R_2 = 3.0$ $\Omega$ のとき

$$R_{\text{直列}} = R_1 + R_2 = 3.0 + 3.0 = 6.0 \text{ Ω}$$

並列接続：

$$\frac{1}{R_{\text{並列}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3.0} + \frac{1}{3.0} = \frac{2}{3.0}$$ $$R_{\text{並列}} = \frac{3.0}{2} = 1.5 \text{ Ω}$$
答え： 直列 $R = 6.0$ $\Omega$、並列 $R = 1.5$ $\Omega$
補足：並列抵抗の「和分の積」公式

2つの抵抗の並列合成は「和分の積」で素早く計算できます。

$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3.0 \times 3.0}{3.0 + 3.0} = \frac{9.0}{6.0} = 1.5 \text{ Ω}$$
Point

直列：$R = R_1 + R_2$（和）。並列：$1/R = 1/R_1 + 1/R_2$（逆数の和）。並列合成は必ず最小の抵抗より小さくなる。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(R_1 = 6.0\) Ω, \(R_2 = 3.0\) Ω, \(V = 12\) V とする。直列接続:

$$R_s = R_1 + R_2 = 6.0 + 3.0 = 9.0 \text{ Ω}$$ $$I_s = \frac{V}{R_s} = \frac{12}{9.0} \fallingdotseq 1.33 \text{ A}$$

並列接続:

$$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6.0} + \frac{1}{3.0} \;\Rightarrow\; R_p = 2.0 \text{ Ω}$$ $$I_p = \frac{V}{R_p} = \frac{12}{2.0} = 6.0 \text{ A}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。