例題48 水力発電

解説

直感的理解
水力発電では、高所の水がもつ位置エネルギーを電気エネルギーに変換します。変換効率を考慮して実際に得られる電力を計算します。

(1) 位置エネルギー：

$$U = mgh = 1.0 \times 10^3 \times 9.8 \times 50 = 4.9 \times 10^5 \text{ J}$$

(2) 毎秒1.2トンの水を落下、効率20%：

$$P = 1.2 \times U \times 0.20 = 1.2 \times 4.9 \times 10^5 \times 0.20 = 1.2 \times 10^2 \text{ kW}$$

(3) 1世帯10 kWh/日、発電所の1日の発電量：

$$W = P \times 24 = 120 \times 24 = 2880 \text{ kWh}$$

世帯数 = 2880 / 10 = 約290世帯

$$U = mgh = 10^3 \times 9.8 \times 50 = 4.9 \times 10^5 \text{ J}$$ $$P = 1200 \times 9.8 \times 50 \times 0.20 = 120 \text{ kW}$$ $$\text{1日:} 120 \times 24 = 2880 \text{ kWh}$$
答え：
(1) \(U = 4.9 \times 10^5\) J
(2) \(P \fallingdotseq 1.2 \times 10^2\) kW
(3) 約290世帯
補足：仕事とエネルギーの関係

仕事-エネルギー定理より、合力がした仕事は運動エネルギーの変化に等しい：

$$W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$

数値計算：質量 \(m = 2.0\) kg、加速度 \(a = 3.0\) m/s² のとき：

$$F = ma = 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ N}$$ $$W = mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \text{ N}$$
Point

水力発電の電力: \(P = \eta \cdot \dot{m} g h\)（\(\eta\): 効率、\(\dot{m}\): 単位時間の水量）。kWhとJの変換: 1 kWh = \(3.6 \times 10^6\) J。