教科書(物理) 問6:剛体にはたらく力の合力

解法

直感的理解

天秤棒を想像してみましょう。重い荷物のある側に支点が近いのと同じで、合力の作用点は大きい力の方に寄ります。3 N と 5 N なら、5 N 側に近い位置に合力が作用します。

Step 1:合力の大きさ

同じ向きの平行な2力の合力は単純な和です:

$$F = F_1 + F_2 = 3.0 + 5.0 = 8.0 \text{ N}$$

Step 2:作用点の位置(モーメントのつりあい)

\(F_1\) の作用点を原点とし、合力の作用点までの距離を \(x\) とします。合力の作用点まわりのモーメントが 0 になる条件から:

$$F_1 \times x = F_2 \times (d - x)$$ $$3.0 \times x = 5.0 \times (0.40 - x)$$ $$3.0x = 2.0 - 5.0x$$ $$8.0x = 2.0$$ $$x = 0.25 \text{ m}$$

Step 3:確認(内分比)

合力の作用点は2力の間を \(F_2 : F_1 = 5 : 3\) に内分します:

$$x = \frac{F_2}{F_1 + F_2} \times d = \frac{5.0}{8.0} \times 0.40 = 0.25 \text{ m}$$
答え
合力の大きさ \(F = 8.0\) N(\(F_1, F_2\) と同じ向き)。作用点は \(F_1\) から 0.25 m(\(F_2\) から 0.15 m)の位置。
補足:逆向きの平行な2力の場合

2力が逆向きの場合、合力の大きさは差になり、作用点は2力の外分点に来ます:

$$F = |F_1 - F_2|, \quad x = \frac{F_2}{F_2 - F_1} \times d \quad (F_2 > F_1)$$

作用点は大きい力の外側(延長線上)に位置します。力が等しいと偶力になり、合力は 0 ですがモーメントだけが残ります。

Point

平行な2力の合力の作用点は大きい力の方に寄る(内分比は \(F_2 : F_1\))。モーメントのつりあいの式を立てれば必ず求められます。スライダーで力の大きさを変えると作用点がどう移動するか確認しましょう。