A端をモーメントの基準に選ぶと、$F_A$（ちょうつがいの力）のモーメントはゼロになります。残るのは重力 $mg$ のモーメント（時計回り）と糸の張力 $T$ のモーメント（反時計回り）だけ。棒が30°の角度なので、うでの長さの計算に三角関数を使います。
A端まわりのモーメントのつりあい（反時計回りを正）：
重力 $mg$ のうでの長さ：$\dfrac{l}{2}\cos 30°$
張力 $T$（水平左向き）のうでの長さ：$l\sin 30°$
$$T \cdot l\sin 30° = mg \cdot \frac{l}{2}\cos 30°$$ $$T = \frac{mg \cos 30°}{2\sin 30°} = \frac{mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$$ちょうつがい（回転軸）をモーメントの基準に選ぶと、ちょうつがいの力のモーメントが 0 になり、未知数が $T$ だけの式が得られます。
棒にはたらく力は $mg$（下向き）、$T$（水平左向き）、$F_A$（未知）の3つです。全体がつりあうので、$F_A$ は $mg$ と $T$ の合力を打ち消す方向にはたらきます。水平成分は $T$ を打ち消し、鉛直成分は $mg$ を打ち消します。
水平方向のつりあい：
$$F_{Ax} = T = \frac{\sqrt{3}}{2}mg \quad \text{（右向き）}$$鉛直方向のつりあい：
$$F_{Ay} = mg \quad \text{（上向き）}$$数値計算の確認：質量 0.50 kg の物体が速度 4.0 m/s で運動するとき、運動量は \(0.50 \times 4.0 = 2.0\) kg·m/s。力 100 N が 0.020 s 間作用すると力積は \(100 \times 0.020 = 2.0\) N·s です。
ちょうつがいの力 $\vec{F_A}$ は：
合力の大きさ：$F_A = \sqrt{F_{Ax}^2 + F_{Ay}^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}mg\right)^2 + (mg)^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}mg$
水平となす角：$\tan\phi = \dfrac{F_{Ay}}{F_{Ax}} = \dfrac{mg}{\frac{\sqrt{3}}{2}mg} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
ちょうつがいの力は方向が不明なので、水平成分と鉛直成分に分けて求めます。モーメントの式で他の未知数を先に求めてから、力のつりあいで $F_A$ の成分を求める手順が定石です。