解法

一直線上を同じ向きに運動する2つの小球 A, B を考える。A の質量 \(m\)、速度 \(v_1 = 4.0\,\text{m/s}\)。B の質量 \(m\)（等質量）、速度 \(v_2 = 1.0\,\text{m/s}\)。反発係数 \(e = 0.5\)。A の運動方向を正とする。

Step 1：運動量保存則

$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' $$

等質量（\(m_1 = m_2 = m\)）なので \(m\) で割る：

$$ v_1 + v_2 = v_1' + v_2' $$

数値を代入する：

$$ 4.0 + 1.0 = v_1' + v_2' \quad \Rightarrow \quad v_1' + v_2' = 5.0 \quad \cdots\text{①} $$

Step 2：反発係数の式

$$ e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} $$

速度差 \(v_1 - v_2 = 4.0 - 1.0 = 3.0\) m/s を代入：

$$ v_2' - v_1' = 3.0\,e \quad \cdots\text{②} $$

Step 3：連立して解く

① + ② より：

$$ 2v_2' = 5.0 + 3.0\,e \quad \Rightarrow \quad v_2' = \frac{5.0 + 3.0\,e}{2} $$

① − ② より：

$$ 2v_1' = 5.0 - 3.0\,e \quad \Rightarrow \quad v_1' = \frac{5.0 - 3.0\,e}{2} $$

場合① \(e = 1\)（弾性衝突）：

$$ v_1' = \frac{5.0 - 3.0}{2} = \frac{2.0}{2} = 1.0 \;\text{m/s} $$ $$ v_2' = \frac{5.0 + 3.0}{2} = \frac{8.0}{2} = 4.0 \;\text{m/s} $$

等質量の弾性衝突では速度が入れ替わる（\(v_1' = v_2 = 1.0\) m/s、\(v_2' = v_1 = 4.0\) m/s）。

場合② \(e = 0\)（完全非弾性衝突）：

\(v_2' - v_1' = 0\) より \(v_1' = v_2'\)。① に代入：

$$ 2v' = 5.0 \quad \Rightarrow \quad v' = 2.5 \;\text{m/s} $$ $$ v_1' = v_2' = 2.5 \;\text{m/s} $$

2つの物体は一体となって 2.5 m/s で運動する。

補足：等質量の場合の一般解

等質量 \(m_1 = m_2\) の場合、一般解は

$$ v_1' = \frac{(1-e)v_1 + (1+e)v_2}{2}, \quad v_2' = \frac{(1+e)v_1 + (1-e)v_2}{2} $$

\(e = 1\)（弾性衝突）なら速度が入れ替わり \(v_1' = v_2,\,v_2' = v_1\)。