解法

条件：

• A（質量 \(m\)）が速さ 6.0 m/s で x 軸方向に進み、静止した B（質量 \(2m\)）に衝突
• 衝突後、A は x 軸から 30° 上方に速さ \(3\sqrt{3}\) m/s で飛び出す
• B の速さ \(v_B'\) と方向 \(\alpha\)（x 軸下方への角度）を求める

x 成分の保存：衝突前後で x 方向の運動量の総和は等しい。衝突前は A のみが x 方向に運動し、B は静止しています。

$$ m \times 6.0 = m \times 3\sqrt{3}\cos 30° + 2m \times v_B'\cos\alpha $$

\(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) を代入して整理します：

$$ 6.0 = 3\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 2v_B'\cos\alpha = \frac{9}{2} + 2v_B'\cos\alpha $$

よって：

$$ 2v_B'\cos\alpha = 6.0 - 4.5 = 1.5 \quad \cdots (1) $$

y 成分の保存（上向きを正）：衝突前は y 方向の運動量がゼロなので、衝突後も y 方向の運動量の合計はゼロです。A は上方（正）、B は下方（負）に飛び出すので：

$$ 0 = m \times 3\sqrt{3}\sin 30° - 2m \times v_B'\sin\alpha $$

\(\sin 30° = \dfrac{1}{2}\) を代入して整理します：

$$ 2v_B'\sin\alpha = 3\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \quad \cdots (2) $$

(2)÷(1)：\(\cos\alpha\) と \(\sin\alpha\) の比から角度を求めます。

$$ \tan\alpha = \frac{2v_B'\sin\alpha}{2v_B'\cos\alpha} = \frac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{1.5} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} = \sqrt{3} $$

よって：

$$ \alpha = 60° $$

B は x 軸の負の向きから 60° の方向（x 軸下方 60°）に飛び出します。

(1) に代入：\(\alpha = 60°\) を式 (1) に代入して速さを求めます。

$$ 2v_B'\cos 60° = 1.5 $$ $$ 2v_B' \times \frac{1}{2} = 1.5 $$ $$ v_B' = 1.5 \text{ m/s} $$

📐 補足：運動量保存則の導出

2物体が内力のみでやりとりする場合、作用・反作用の法則から \(\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}\) が成り立ちます。両辺に \(\Delta t\) をかけると力積が等しく逆向きになり、全運動量が保存されます。