自由落下では速さが高さの平方根に比例する。よって速さの比（=反発係数）は高さの比の平方根に等しい。例えば \(h' = h/4\) なら \(e = 0.5\)、\(h' = h/2\) なら \(e \fallingdotseq 0.71\)。実験では落下高さとはねかえり高さを測るだけで \(e\) が求まるので非常に便利。
Step 1：衝突直前の速さ
高さ \(h\) から自由落下させると、力学的エネルギー保存より衝突直前の速さは：
$$ \frac{1}{2}mv^2 = mgh \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh} $$Step 2：衝突直後の速さ
反発して速さ \(v'\) で跳ね上がり、高さ \(h'\) に達するから：
$$ \frac{1}{2}mv'^2 = mgh' \quad \Rightarrow \quad v' = \sqrt{2gh'} $$Step 3：反発係数を求める
$$ e = \frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{2gh'}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h'}{h}} $$数値例：質量 0.50 kg のボールが速さ 20 m/s で飛んできて跳ね返る場合、運動量変化は \(\Delta p = 0.50 \times 20 - 0.50 \times (-20) = 10 + 10 = 20\) kg·m/s。接触時間が 0.010 s なら平均の力は \(F = 20/0.010 = 2000\) N です。
\(h' = e^2 h\) なので、\(n\) 回目のはねかえり高さは：
$$ h_n = e^{2n} h $$例えば \(e = 0.7\) なら3回目の高さは \(0.7^6 \times h \fallingdotseq 0.118h\) と急激に減衰する。
この公式は反発係数の実験測定で頻出。速度を直接測定する必要がなく、高さだけで反発係数が求まる。\(h' = e^2 h\) と変形すれば、はねかえり高さが \(e^2\) 倍ずつ減衰することがわかる。