教科書（物理） 問17：反発係数（小球と床）

解法

直感的理解
小球を高さ \(h\) から落とすと衝突直前の速さは \(\sqrt{2gh}\)。反発係数 \(e\) で跳ね返ると速さは \(e\) 倍になり、到達する高さは \(e^2\) 倍になります。つまり跳ね返り高さは \(h' = e^2 h\) です。

高さ \(h\) からの自由落下：

$$ v = \sqrt{2gh} $$

反発係数の定義（床との衝突）：

$$ e = \frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{2gh'}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h'}{h}} $$

跳ね返り高さ：

$$ h' = e^2 h = 0.50^2 \times 80 = 0.25 \times 80 = 20 \text{ cm} $$

逆に、高さから反発係数を求めるには：

$$ e = \sqrt{\frac{h'}{h}} = \sqrt{\frac{20}{80}} = \sqrt{0.25} = 0.50 $$
答え
反発係数 \(e = 0.50\)、跳ね返り高さ \(h' = 20\) cm（約 20 cm の高さまで跳ね返る）
補足：n回目の跳ね返り高さと力学的エネルギー損失

$n$ 回跳ね返った後の高さは $h_n = e^{2n} h$ で表されます。$e = 0.50$ の場合：

  • 1回目：$h_1 = 0.50^2 \times 80 = 20$ cm
  • 2回目：$h_2 = 0.50^4 \times 80 = 5.0$ cm
  • 3回目：$h_3 = 0.50^6 \times 80 = 1.25$ cm

各衝突での力学的エネルギーの損失割合は $(1 - e^2) = 1 - 0.25 = 0.75$、つまり毎回 75% のエネルギーが熱や音に変わります。完全弾性衝突（$e = 1$）ならエネルギー損失はゼロで元の高さまで戻ります。

Point

床との反発係数 \(e = \sqrt{h'/h}\) を覚えておけば、落下高さと跳ね返り高さから簡単に \(e\) を求められる。跳ね返り高さは \(e^2\) 倍になることがポイント。