物体に力を加えると運動量が変化します。力が大きいほど、また力を加える時間が長いほど、運動量の変化は大きくなります。この「力 × 時間」が力積であり、運動量の変化量そのものです。
Step 1：運動方程式から出発
$$ m\vec{a} = \vec{F} $$Step 2：加速度を速度変化で書き換える
加速度 \(\vec{a} = \dfrac{\vec{v'} - \vec{v}}{\Delta t}\) を代入して：
$$ m \cdot \frac{\vec{v'} - \vec{v}}{\Delta t} = \vec{F} $$Step 3：両辺に \(\Delta t\) をかける
$$ m\vec{v'} - m\vec{v} = \vec{F}\Delta t $$左辺が運動量の変化、右辺が力積。つまり：
$$ \Delta \vec{p} = \vec{I} $$単位の確認：
$$ \text{N·s} = \text{kg·m/s}^2 \times \text{s} = \text{kg·m/s} \quad \checkmark $$数値例：質量 0.50 kg のボールが速さ 20 m/s で飛んできて跳ね返る場合、運動量変化は \(\Delta p = 0.50 \times 20 - 0.50 \times (-20) = 10 + 10 = 20\) kg·m/s。接触時間が 0.010 s なら平均の力は \(F = 20/0.010 = 2000\) N です。
2物体が内力のみでやりとりする場合、作用・反作用の法則から \(\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}\) が成り立ちます。両辺に \(\Delta t\) をかけると力積が等しく逆向きになり、全運動量が保存されます。
力積 \(\vec{F}\Delta t\) の単位は N·s = kg·m/s であり、運動量と同じ単位。これは偶然ではなく、両者が等しいことの反映。力が時間変化する場合は \(\vec{I} = \int \vec{F}\,dt\) で面積として求める。