解法

(1) F-t グラフの斜線部分の面積

力積の定義より：

$$ I = \int_0^{\Delta t} F\,dt = \text{F-tグラフの面積} $$

F-t グラフが三角形なら：

$$ I = \frac{1}{2} \times F_{\max} \times \Delta t $$

力積は運動量の変化に等しいので：

$$ I = mv' - mv = \Delta p $$

よって、斜線部分の面積は台車Aが受けた力積の大きさを表す。

(2) 反発係数の計算

力積から衝突前後の速度を求め、反発係数を計算する。衝突前の速さ \(v\)、衝突後の速さ \(v'\) として：

$$ e = \frac{v'}{v} $$

例えば \(v = 5.0\) m/s、力積からの計算で \(v' = 3.0\) m/s なら：

$$ e = \frac{3.0}{5.0} = 0.60 $$

数値計算の確認：質量 0.50 kg の物体が速度 4.0 m/s で運動するとき、運動量は \(0.50 \times 4.0 = 2.0\) kg·m/s。力 100 N が 0.020 s 間作用すると力積は \(100 \times 0.020 = 2.0\) N·s です。

💡 補足：なぜグラフの面積が力積になるのか

力積の定義は \(I = \int F\,dt\) です。これは数学的に「F-t グラフの下の面積」に他なりません。力が一定のときは \(I = F \cdot \Delta t\)（長方形の面積）、力が変化するときはグラフの形状に応じて面積を計算します。