教科書(物理) 演習問題2:直線上の運動量保存則

解法

直感的理解
台 A の上に B が乗り移るとき、A と B の間の摩擦力で B は減速し A は加速します。最終的に同じ速さで動く(一体化)。摩擦力は内力なので、系全体の運動量は保存されます。

台 A(質量 1.4 kg、静止)の上に小物体 B(質量 0.60 kg)が速さ \(v_B\) で乗り移り、摩擦で一体になる。

(1) 一体後の速さ V:

$$ m_B v_B = (m_A + m_B) V $$ $$ V = \frac{m_B v_B}{m_A + m_B} = \frac{0.60 \times v_B}{1.4 + 0.60} = \frac{0.60 \, v_B}{2.0} $$

(2) B が受けた力積:

B の運動量の変化がBが受けた力積に等しい:

$$ I_B = m_B V - m_B v_B = m_B(V - v_B) $$
答え
(1) 一体後の速さ \(V = 2.0\) m/s
(2) 力積 \(I = 2.8\) N·s
補足:完全非弾性衝突でのエネルギー損失

完全非弾性衝突(一体化)では運動量は保存されますが、運動エネルギーの一部が摩擦熱に変わります。

衝突前の運動エネルギー:$K_\mathrm{前} = \dfrac{1}{2} m_B v_B^2$

衝突後の運動エネルギー:$K_\mathrm{後} = \dfrac{1}{2} (m_A + m_B) V^2$

失われたエネルギー $\Delta K = K_\mathrm{前} - K_\mathrm{後}$ は A と B の間の動摩擦によって熱エネルギーに変換されます。反発係数は $e = 0$(相対速度がゼロ)で、エネルギー損失は $\Delta K = \dfrac{m_A m_B}{2(m_A + m_B)} v_B^2$ と表されます。

Point

摩擦で一体化 = 完全非弾性衝突。水平方向の外力がなければ運動量保存が成り立つ。力積は各物体の運動量の変化として計算する。