教科書（物理） 演習問題5：運動量と力学的エネルギー（完全非弾性衝突）

解法

直感的理解
弾丸が木片に食い込んで一体化すると、運動量は保存されますが運動エネルギーは大幅に失われます。弾丸は軽くて速い（\(m, v\)）、木片は重くて静止（\(M, 0\)）。一体化後はゆっくり動き、失われたエネルギーは木片の変形・熱に変わります。

質量 \(m\) の弾丸が速さ \(v\) で、静止した質量 \(M\) の木片に水平に撃ち込まれ一体化する。

(1) 一体後の速さ V：

$$ mv = (M + m)V $$ $$ V = \frac{mv}{M + m} $$

(2) 失われた運動エネルギー ΔE：

$$ \Delta E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(M+m)V^2 $$

\(V = \dfrac{mv}{M+m}\) を代入すると：

$$ \Delta E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(M+m)\left(\frac{mv}{M+m}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{m^2 v^2}{2(M+m)} $$ $$ = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 - \frac{m}{M+m}\right) = \frac{1}{2}mv^2 \cdot \frac{M}{M+m} = \frac{Mmv^2}{2(M+m)} $$

数値計算の確認：質量 0.50 kg の物体が速度 4.0 m/s で運動するとき、運動量は \(0.50 \times 4.0 = 2.0\) kg·m/s。力 100 N が 0.020 s 間作用すると力積は \(100 \times 0.020 = 2.0\) N·s です。

答え
(1) \(V = \dfrac{mv}{M+m}\)
(2) \(\Delta E = \dfrac{Mmv^2}{2(M+m)}\)
補足：エネルギー損失率

損失率は \(\dfrac{\Delta E}{\frac{1}{2}mv^2} = \dfrac{M}{M+m}\)。木片が弾丸より十分重い（\(M \gg m\)）場合、ほぼ全エネルギーが失われる。これは直感的にも理解できます。

Point

完全非弾性衝突のエネルギー損失 \(\Delta E = \dfrac{Mmv^2}{2(M+m)}\) は重要公式。\(\dfrac{M}{M+m}\) の割合で運動エネルギーが失われる。弾丸問題では \(M \gg m\) なのでほぼ全損失。