正面衝突では2つの球が逆向きに進んでぶつかります。運動量保存は「重み付き速度の和が一定」、反発係数は「相対速度の比が \(e\) 倍」。この2条件で衝突後の速度が一意に決まります。
A の運動方向を正として、衝突前の速度を \(v_1, v_2\)、衝突後を \(v_1', v_2'\) とする。
Step 1：運動量保存則
$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \cdots (1) $$Step 2：反発係数の式
$$ e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2} \quad \cdots (2) $$Step 3：(1)(2)を連立
(2) より \(v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)\)。これと (1) を連立（和と差から個別の速度を求める方法）すると、\(v_1', v_2'\) が求まります。
数値計算の確認：質量 0.50 kg の物体が速度 4.0 m/s で運動するとき、運動量は \(0.50 \times 4.0 = 2.0\) kg·m/s。力 100 N が 0.020 s 間作用すると力積は \(100 \times 0.020 = 2.0\) N·s です。
一般に、質量 \(m_1, m_2\)、反発係数 \(e\) の場合：
$$ v_1' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 - m_2 e(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2} $$ $$ v_2' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_1 e(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2} $$反発係数の符号に注意。\(e = -\dfrac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2}\) のマイナスを忘れずに。正面衝突では \(v_1 - v_2 > 0\)、衝突後は \(v_1' - v_2' < 0\) になるので \(e > 0\) となる。