解法

水平でなめらかな床に、小球が床面となす角 60° の方向から速さ \(v\) で衝突。反発係数 \(e = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) のとき、跳ね返り角度 \(\theta\) を求める。

速度を成分に分解：

• 水平成分：\(v_x = v\cos 60° = \dfrac{v}{2}\)
• 鉛直成分：\(v_y = v\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\)

衝突後：

• 水平成分（変化なし）：\(v_x' = v_x = \dfrac{v}{2}\)
• 鉛直成分（反発係数適用）：\(v_y' = e \cdot v_y = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}v = \dfrac{v}{2}\)

跳ね返り角度：

$$ \tan\theta = \frac{v_y'}{v_x'} = \frac{v/2}{v/2} = 1 \quad \therefore \theta = 45° $$

数値例：質量 0.50 kg のボールが速さ 20 m/s で飛んできて跳ね返る場合、運動量変化は \(\Delta p = 0.50 \times 20 - 0.50 \times (-20) = 10 + 10 = 20\) kg·m/s。接触時間が 0.010 s なら平均の力は \(F = 20/0.010 = 2000\) N です。

関連する基本公式：

$$ \vec{p} = m\vec{v} $$ $$ \vec{F}\Delta t = m\vec{v}\prime - m\vec{v} $$

📐 補足：運動量保存則の導出

2物体が内力のみでやりとりする場合、作用・反作用の法則から \(\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}\) が成り立ちます。両辺に \(\Delta t\) をかけると力積が等しく逆向きになり、全運動量が保存されます。