教科書（物理） 類題6：力積の大きさと向き

解法

直感的理解
正の向きに飛んできたボールが 120° の方向へ跳ね返ります。\(m\vec{v}\) と \(m\vec{v}'\) を描いてその差（\(m\vec{v}' - m\vec{v}\)）を作図すると、力積のベクトルが得られます。2つのベクトルの大きさが等しいので、余弦定理が使えます。

条件：\(m = 0.40\) kg、\(v = v' = 10\) m/s

\(|m\vec{v}| = |m\vec{v}'| = 0.40 \times 10 = 4.0\) kg·m/s

\(m\vec{v}\) と \(m\vec{v}'\) のなす角は 120°

余弦定理で力積の大きさを求めます：

向き： \(m\vec{v}' - m\vec{v}\) の方向は、正の向きとなす角度を \(\alpha\) とすると、ベクトル図の対称性から \(\alpha = 150°\) です（\(|m\vec{v}| = |m\vec{v}'|\) の二等辺三角形で、底辺の中線が 120° の二等分線 = 60° 方向、力積はそれに垂直で 150°）。

答え
力積の大きさ \(4\sqrt{3} \fallingdotseq 6.9\) N·s、正の向きとなす角度 \(150°\)
💡 別解：力のつりあいを別の座標系で考える

座標軸の取り方を変えると、同じ問題でも異なるアプローチができます。結果が同じになることを確認してみましょう。

式の整理：

$$ m = 0.40 $$ $$ v = v' = 10 $$ $$ |m\vec{v}| = |m\vec{v}'| = 0.40 \times 10 = 4.0 $$
Point

\(|m\vec{v}| = |m\vec{v}'|\) のとき、力積ベクトルは2つの運動量ベクトルのなす角の二等分線に垂直な方向を向きます。これは反射の法則と同じ構造です。