円錐振り子の周期は単振り子 \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) に \(\sqrt{\cos\theta}\) がかかる。\(\theta\) が大きい（糸が水平に近い）ほど \(\cos\theta\) が小さくなり、周期が短くなる。つまり大きく回すほど速く回る。\(\theta \to 0\) では単振り子の周期に一致する。
長さ \(l\) の軽い糸の上端を固定し、下端に質量 \(m\) の小球をつけて水平面内で等速円運動させる（円錐振り子）。糸が鉛直方向となす角を \(\theta\) とする。
Step 1：力の分解と運動方程式
小球にはたらく力は重力 \(mg\) と糸の張力 \(S\)。円運動の半径は \(r = l\sin\theta\)。
Step 2：張力 \(S\)
②より
Step 3：角速度 \(\omega\)
①に \(S\) と \(r = l\sin\theta\) を代入：
Step 4：周期 \(T\)
数値計算の確認：質量 2.0 kg の物体が速度 3.0 m/s で運動するとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\) J。高さ 5.0 cm = 0.050 m から落とすと速さは \(v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.050} = 0.99\) m/s です。
①÷② で張力 \(S\) を消去すると直接
$$ \tan\theta = \frac{r\omega^2}{g} = \frac{l\sin\theta\,\omega^2}{g} $$ $$ \omega^2 = \frac{g\tan\theta}{l\sin\theta} = \frac{g}{l\cos\theta} $$同じ結果が得られる。
円錐振り子の解法は「水平方向 = 向心力の式」「鉛直方向 = つりあい」の2式を立てること。単振り子との違いは、鉛直方向がつりあい（加速度0）であること。周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{l\cos\theta/g}\) は頻出。