角速度が大きいほど遠心効果でばねが伸びる。糸の円錐振り子と同じ構造だが、「張力」の代わりに「ばねの弾性力 \(kx\)」が働く。鉛直成分が重力を支え、水平成分が向心力になる。
ばねの伸びを \(x\)、ばねが鉛直方向となす角を \(\theta\) とする。弾性力の大きさは \(kx\)、円運動の半径は \(r = (l_0 + x)\sin\theta\)。
Step 1：運動方程式を立てる
水平方向（向心方向）：
$$ kx\sin\theta = m(l_0 + x)\sin\theta \cdot \omega^2 \quad \cdots① $$鉛直方向（つりあい）：
$$ kx\cos\theta = mg \quad \cdots② $$Step 2：②より伸び \(x\) を求める
$$ x = \frac{mg}{k\cos\theta} $$Step 3：①÷②で \(\omega\) を求める
①÷②より：
$$ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{(l_0+x)\sin\theta \cdot \omega^2}{g} $$ $$ \tan\theta = \frac{(l_0+x)\omega^2 \sin\theta}{g} $$\(\sin\theta \neq 0\) で割ると：
$$ \omega = \sqrt{\frac{g}{(l_0 + x)\cos\theta}} $$数値例：質量 2.0 kg の物体が高さ 5.0 m から落下すると、位置エネルギーの減少は \(mgh = 2.0 \times 9.8 \times 5.0 = 98\) J。地面での速さは \(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5.0} = \sqrt{98} \fallingdotseq 9.9\) m/s です。
①を変形すると \(kx = m(l_0+x)\omega^2\) より：
$$ x = \frac{ml_0\omega^2}{k - m\omega^2} $$\(\omega \to \sqrt{k/m}\) のとき分母→0で \(x \to \infty\)。これは物理的に不可能で、実際にはばねが限界まで伸びて問題設定が成り立たなくなる。
ばねの円運動では「ばねの伸びが半径に影響し、半径が伸びに影響する」という相互依存がある。鉛直方向のつりあいから \(x\) を求め、水平方向から \(\omega\) を求める手順が定石。