最高点で面から離れないためには、最高点での速さが「重力だけで円運動を維持できる最小速度 \(\sqrt{gr}\)」以上でなければならない。そこから逆算すると、最下点では \(\sqrt{5gr}\) の速さが必要になる。
Step 1：角度 \(\theta\) の位置（点B）での速さ
点 A（最下点）を基準面とし、点 B の高さは \(h = r(1 - \cos\theta)\)。エネルギー保存より：
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgr(1-\cos\theta) $$ $$ v_B^2 = v_0^2 - 2gr(1-\cos\theta) \quad \cdots① $$Step 2：点Bでの垂直抗力
中心向きの運動方程式（垂直抗力 \(N\) と重力の中心向き成分）：
$$ N - mg\cos\theta = \frac{mv_B^2}{r} $$①を代入して：
$$ N = \frac{mv_0^2}{r} - mg(2 + 3\cos\theta) + 3mg = \frac{mv_0^2}{r} - 2mg - 3mg\cos\theta + 3mg $$ $$ N_B = \frac{mv_0^2}{r} - mg(2 - 3\cos\theta + 3) $$Step 3：最高点C（高さ \(2r\)）での条件
最高点では重力と垂直抗力がともに中心（下向き）を向く：
$$ N_C + mg = \frac{mv_C^2}{r} $$エネルギー保存より \(v_C^2 = v_0^2 - 4gr\) なので：
$$ N_C = \frac{m(v_0^2 - 4gr)}{r} - mg = \frac{mv_0^2}{r} - 5mg $$面から離れない条件 \(N_C \geq 0\) より：
$$ \frac{mv_0^2}{r} \geq 5mg \quad \Rightarrow \quad v_0 \geq \sqrt{5gr} $$数値計算の確認：質量 2.0 kg の物体が速度 3.0 m/s で運動するとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\) J。高さ 5.0 cm = 0.050 m から落とすと速さは \(v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.050} = 0.99\) m/s です。
最高点で \(N_C = 0\)（ぎりぎり離れない）のとき：
$$ mg = \frac{mv_{C,\min}^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v_{C,\min} = \sqrt{gr} $$これをエネルギー保存に代入：
$$ \frac{1}{2}mv_{0,\min}^2 = \frac{1}{2}m(gr) + mg(2r) $$ $$ v_{0,\min}^2 = gr + 4gr = 5gr \quad \checkmark $$鉛直面円運動の解法は「エネルギー保存で速さ → 中心向き運動方程式で抗力」の2段構え。最高点の条件 \(N \geq 0\) から \(v_{0,\min} = \sqrt{5gr}\) は頻出。糸の場合は \(S \geq 0\)（張力）で同じ条件。