つりあい位置では重力 \(mg\) とばねの弾性力 \(kd\) が釣り合っている。この条件からばね定数が求まる。
質量 \(m = 0.80\) kg のおもりをつるして静止したとき、ばねの伸びは \(d = 9.8 \times 10^{-2}\) m。つりあいの条件より：
鉛直ばね振り子の問題では、まず「つりあいの条件 \(kd = mg\)」を立てるのが第一歩。
鉛直ばね振り子のポイントは、つりあい位置を振動の中心と考えること。つりあい位置からの変位で運動方程式を立てれば、重力の項が消えて水平ばね振り子と全く同じ形 \(ma = -kx\) になる。
ばねを自然の長さになるまで持ち上げて静かにはなすと、つりあい位置を中心に単振動する。
振幅
手をはなす位置はつりあい位置から \(d\) だけ上なので：
$$ A = d = 9.8 \times 10^{-2} \text{ m} $$周期
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.80}{80}} = 2\pi\sqrt{0.010} = 2\pi \times 0.10 \fallingdotseq 0.63 \text{ s} $$速さの最大値
単振動の最大速さはつりあい位置を通過するときで：
$$ v_{\max} = A\omega = A \times \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi \times 9.8 \times 10^{-2}}{0.63} \fallingdotseq 0.98 \text{ m/s} $$つりあい位置からの変位を \(x\) とすると、ばねの伸びは \(d + x\)。運動方程式は：
$$ma = -k(d + x) + mg = -kx \quad (\because kd = mg)$$重力とつりあい時のばね力が打ち消し合い、水平の場合と同じ運動方程式になる。
鉛直ばね振り子でも周期は \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)。振幅はつりあい位置から手をはなした位置までの距離で決まる。