惑星を軌道に留めている唯一の力が万有引力。これが向心力の役割を果たす。\(v = \sqrt{GM/r}\) から、軌道半径が大きいほど速さが遅いことがわかる。
質量 \(M\) の太陽を中心に半径 \(r\) の等速円運動する質量 \(m\) の惑星の運動方程式（向心力 = 万有引力）：
$$ m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2} $$両辺を \(m\) で割り、\(v^2\) について解く：
$$ v^2 = \frac{GM}{r} $$質量 \(m\) は運動方程式の両辺から消える。つまり、軌道速度は衛星の質量に依存しない。
万有引力の法則と円運動の条件を組み合わせるだけで、ケプラーの第三法則が証明できる。ニュートンが万有引力の法則を確信した根拠の一つがこの導出である。
等速円運動の周期は \(T = \dfrac{2\pi r}{v}\) なので、\(v = \sqrt{GM/r}\) を代入すると：
$$ T = \frac{2\pi r}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi r \cdot \sqrt{\frac{r}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$ここで \(T^2\) を計算すると：
$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\, r^3 $$右辺の \(\dfrac{4\pi^2}{GM}\) は定数なので、\(T^2 \propto r^3\)、すなわちケプラーの第三法則が導かれる。
\(T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\) の形を見ると、\(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}\)（定数）。
これはケプラーの第三法則 \(T^2/a^3 = k\) そのもの。定数 \(k\) が中心天体の質量 \(M\) だけで決まることもわかる。
「\(v\) を求めてから \(T = 2\pi r/v\)」の2段階が定石。\(v = \sqrt{GM/r}\) は第一宇宙速度の導出にも直結する重要公式。
地球の質量 \(M = 6.0 \times 10^{24}\) kg、万有引力定数 \(G = 6.67 \times 10^{-11}\) N·m²/kg²、地表からの高さ \(h = 0\) のとき軌道半径 \(r = R_E = 6.4 \times 10^6\) m として、第一宇宙速度と周期を計算する。
速さ \(v\)（地表すれすれの円軌道）：
$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6}} $$ $$ v = \sqrt{\frac{4.0 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{6.25 \times 10^7} \fallingdotseq 7.9 \times 10^3 \text{ m/s} $$これは第一宇宙速度（約 7.9 km/s）に一致する。
周期 \(T\)：
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 6.4 \times 10^6}{7.9 \times 10^3} \fallingdotseq 5.1 \times 10^3 \text{ s} \fallingdotseq 85 \text{ min} $$ISS（高度 \(h \fallingdotseq 400\) km、\(r \fallingdotseq 6.8 \times 10^6\) m）の場合：
$$ v_{ISS} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{6.8 \times 10^6}} \fallingdotseq 7.7 \times 10^3 \text{ m/s} $$軌道半径が大きいほど速度がわずかに小さくなることが確認できる。