地表すれすれの円軌道では、重力がそのまま向心力。\(GM/R^2 = g\) の関係を使えば、万有引力定数 \(G\) と地球の質量 \(M\) を知らなくても \(v_1 = \sqrt{gR}\) で計算できる。
地表すれすれの円軌道（\(r = R\)）を回る物体の運動方程式（向心力 = 万有引力）：
$$ m\frac{v_1^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2} \quad \Rightarrow \quad v_1^2 = \frac{GM}{R} $$地表での万有引力は重力に等しいから \(G\dfrac{M}{R^2} = g\)、すなわち \(GM = gR^2\) を代入：
$$ v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR} $$\(GM = gR^2\) の置換は頻出テクニック。\(G\) や \(M\) を個別に使わず、実測しやすい \(g\) と \(R\) で表現できる。
第一宇宙速度は「地球を回り続ける速さ」、第二宇宙速度は「地球から逃げ出す速さ」。エネルギー保存から、脱出には \(\sqrt{2}\) 倍の速さが必要。初速が \(v_1\) と \(v_2\) の間なら楕円軌道になる。
地表から速さ \(v_2\) で打ち出した物体が無限遠（\(r \to \infty\)）で速度ゼロになる条件を考える。
力学的エネルギー保存則（無限遠を位置エネルギーの基準点とする）：
$$ \frac{1}{2}mv_2^2 - G\frac{Mm}{R} = 0 + 0 $$無限遠で運動エネルギー = 0、位置エネルギー = 0 が「ギリギリ脱出」の条件。\(GM = gR^2\) を代入：
$$ \frac{1}{2}v_2^2 = \frac{GM}{R} = gR \quad \Rightarrow \quad v_2 = \sqrt{2gR} $$数値代入（\(g = 9.8\) m/s², \(R = 6.4 \times 10^6\) m）：
$$ v_2 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{1.254 \times 10^8} \fallingdotseq 1.12 \times 10^4 \text{ m/s} \fallingdotseq 11.2 \text{ km/s} $$「ギリギリ脱出」とは、無限遠で速度ゼロ・位置エネルギーゼロ → 力学的エネルギー合計 = 0 の状態。
地表での合計が正なら「余力で逃げ出す」、負なら「引き戻される」（楕円軌道）。ちょうどゼロが脱出の境界。
第一宇宙速度と第二宇宙速度の関係 \(v_2 = \sqrt{2}\, v_1\) は超頻出。導出は「向心力 = 万有引力」と「エネルギー保存」の対比で覚える。