教科書(物理) 問29:単振り子の周期

解法

直感的理解

長い糸の振り子ほどゆっくり揺れる(\(T \propto \sqrt{l}\))。5 m の振り子は約 4.5 秒で 1 往復。教室の天井から吊るせばその遅さを体感できる。

糸の長さ \(l = 5.0\) m、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² の単振り子の周期を求める。

数値例:質量 2.0 kg の物体が高さ 5.0 m から落下すると、位置エネルギーの減少は \(mgh = 2.0 \times 9.8 \times 5.0 = 98\) J。地面での速さは \(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5.0} = \sqrt{98} \fallingdotseq 9.9\) m/s です。

関連する基本公式:

$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$ $$ E_p = mgh $$
答え
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{5.0}{9.8}} \fallingdotseq 4.5 \text{ s}$$
📐 補足:力学的エネルギー保存の条件

保存力(重力・弾性力)のみが仕事をする場合、力学的エネルギーは保存されます。摩擦力や空気抵抗などの非保存力が仕事をすると、その分だけ力学的エネルギーは減少し、熱エネルギーなどに変換されます。

Point

単振り子の等時性:質量を変えても、振幅を(小さい範囲で)変えても周期は変わらない。変わるのは糸の長さ重力加速度だけ。