太陽から遠い天体ほど公転周期が長くなります。ケプラーの第三法則は周期の2乗が軌道の大きさ（長半径）の3乗に比例することを示しています。ハレー彗星は地球の約18倍遠い軌道なので、周期は \(\sqrt{18^3} \fallingdotseq 76\) 年と非常に長くなります。
Step 1：ケプラーの第三法則
同じ中心天体（太陽）のまわりを公転する天体について：
$$\frac{T^2}{a^3} = \text{一定（太陽系で共通）}$$Step 2：地球を基準にする
地球：\(T_E = 1\) 年、\(a_E = 1\) AU を代入すると \(T^2/a^3 = 1\)。ハレー彗星について：
$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_E^2}{a_E^3} = 1$$ $$T^2 = a^3 = (17.8)^3$$Step 3：計算する
a = 17.8 AU（= 17.8 × 1.5 × 10¹¹ = 2.67 × 10¹² m ≒ 2.67 × 10⁹ km）より：
$$(17.8)^3 = 17.8 \times 17.8 \times 17.8 = 316.84 \times 17.8 \fallingdotseq 5640$$ $$T = \sqrt{5640} \fallingdotseq 75.1 \text{ 年}$$数値計算の確認：質量 2.0 kg の物体が速度 3.0 m/s で運動するとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\) J。高さ 5.0 cm = 0.050 m から落とすと速さは \(v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.050} = 0.99\) m/s です。
円軌道の場合、万有引力が向心力となる条件から：
$$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$ $$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$$比例定数 \(\frac{4\pi^2}{GM}\) は中心天体の質量 \(M\) のみに依存し、公転する天体の質量 \(m\) には無関係です。楕円軌道でも \(r\) を軌道長半径 \(a\) に置き換えれば同じ関係が成り立ちます。スライダーで軌道長半径を変えて周期の変化を確認しましょう。
ケプラーの第三法則 \(T^2 \propto a^3\) は、AU と年の単位系を使えば \(T^2 = a^3\) と簡潔に書けます。軌道が大きいほど周期は急激に長くなる（3/2乗で増加）ことに注意しましょう。