最下点 B は最も低い位置なので、エネルギー保存で位置エネルギーが運動エネルギーに変わり速さが最大に近い。最下点では「重力は外向き、抗力は内向き」なので、抗力 = 向心力 + 重力。
(1) 点B（最下点）の速さ
点 A（高さ \(r\) の位置、速さ \(v_0\)）から点 B（最下点）へのエネルギー保存：
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 $$ $$ v_B = \sqrt{v_0^2 + 2gr} $$(2) 点Bでの垂直抗力
最下点では中心（上向き）に向かう運動方程式：
$$ N_B - mg = \frac{mv_B^2}{r} $$最高点 D では重力が向心力の一部を担う。ギリギリ通過できる条件は「抗力ゼロ、重力だけで向心力をまかなう」状態。
最高点 D での運動方程式（中心は下向き）：
$$ mg + N_D = \frac{mv_D^2}{r} $$通過条件 \(N_D \geq 0\) より、最小の場合 \(N_D = 0\)：
$$ v_D^2 = gr \quad \cdots(\ast) $$点 A から点 D へのエネルギー保存（高さの差 \(2r - r = r\)、つまり A が高さ \(r\)、D が高さ \(2r\)）：
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgr = \frac{1}{2}mv_D^2 + mg \cdot 2r $$ $$ v_0^2 = v_D^2 + 2gr $$(\(\ast\)) を代入：
$$ v_0^2 = gr + 2gr = 3gr $$（入り口の高さによって式は変わる。最下点からの場合は \(v_0^2 = 5gr\)）
最高点を超えた後、球面を滑り降りて面から離れる場合、類題16と同じく \(N = 0\) とエネルギー保存を連立する。
中心方向の運動方程式（中心からの角度を \(\theta\) とする）：
$$ mg\cos\theta - N = \frac{mv^2}{r} $$\(N = 0\) の条件とエネルギー保存から \(\cos\theta_0\) が求まる。
数値計算の確認：質量 2.0 kg の物体が速度 3.0 m/s で運動するとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\) J。高さ 5.0 cm = 0.050 m から落とすと速さは \(v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.050} = 0.99\) m/s です。
最下点 B と最高点 D での抗力の差を求めると、速度に依存しない関係が見えます。
最下点：$N_B = \dfrac{mv_B^2}{r} + mg$
最高点：$N_D = \dfrac{mv_D^2}{r} - mg$
エネルギー保存より $\dfrac{1}{2}mv_B^2 = \dfrac{1}{2}mv_D^2 + mg \cdot 2r$ なので $v_B^2 - v_D^2 = 4gr$。
$$N_B - N_D = \frac{m(v_B^2 - v_D^2)}{r} + 2mg = \frac{m \cdot 4gr}{r} + 2mg = 6mg$$
つまり最下点と最高点の抗力の差は常に $6mg$ で、初速度によらず一定です。これは検算に使える重要な関係です。
鉛直面内の円運動の3つの柱：①エネルギー保存で速さ、②中心方向の運動方程式で抗力、③\(N=0\) で離脱・通過条件。最高点の通過条件 \(v^2 \geq gr\) は超頻出。