万有引力による位置エネルギーは「無限遠をゼロ」として負の値をとる。地球に近いほどエネルギーが低い（深い井戸の底にいるイメージ）。円軌道上の衛星は「万有引力 = 向心力」の条件から運動エネルギーが \(K = |U|/2\) と決まる。
半径 \(r\) の円軌道を回る質量 \(m\) の人工衛星。中心天体の質量を \(M\) とする。
運動エネルギー
万有引力 = 向心力より \(mv^2/r = GMm/r^2\)、したがって：
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r} $$万有引力による位置エネルギー（無限遠基準）
$$ U = -\frac{GMm}{r} $$力学的エネルギー
$$ E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} $$力学的エネルギーが負 → 束縛状態（地球の重力に捕まっている）。エネルギーを外部から加えて \(E \geq 0\) にすれば脱出できる。円軌道から脱出するには \(|E| = GMm/(2r)\) のエネルギーが必要。
軌道上で衛星にエネルギー \(\Delta E\) を加えて脱出させるには：
$$ E + \Delta E \geq 0 $$ $$ -\frac{GMm}{2r} + \Delta E \geq 0 $$最小のエネルギーは：
$$ \Delta E = \frac{GMm}{2r} = K $$つまり、現在の運動エネルギーと同じだけのエネルギーを追加すれば脱出できる。
数値例：質量 2.0 kg の物体が高さ 5.0 m から落下すると、位置エネルギーの減少は \(mgh = 2.0 \times 9.8 \times 5.0 = 98\) J。地面での速さは \(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5.0} = \sqrt{98} \fallingdotseq 9.9\) m/s です。
地表（\(r = R\)）から脱出する場合、必要な運動エネルギーは
$$ K = \frac{GMm}{R} \quad \therefore\, \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{GMm}{R} $$ $$ v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} $$これが第二宇宙速度の導出。第一宇宙速度（\(v_1 = \sqrt{gR}\)）の \(\sqrt{2}\) 倍。
円軌道では \(K = |U|/2\)、\(E = -K = U/2\)。これらの関係は「ビリアル定理」とも呼ばれる。\(E < 0\) が束縛状態、\(E = 0\) が脱出の境界、\(E > 0\) が非束縛状態。