ばね付き円錐振り子は、糸の円錐振り子と異なり、ばねが伸びることで張力が変わります。速く回すほど大きな向心力が必要 → ばねがより伸びて張力が増加し、角度 \(\theta\) も大きくなります。
Step 1：力の分解
ばねの張力を \(T = k x\)（\(x\) はばねの伸び）とし、鉛直・水平方向に分解します：
$$\text{鉛直方向（つりあい）：} T\cos\theta = mg \quad \cdots (1)$$ $$\text{水平方向（向心力）：} T\sin\theta = m\omega^2 r \quad \cdots (2)$$ここで円運動の半径は \(r = (l + x)\sin\theta\) です。
Step 2：伸び \(x\) を求める
(1) より \(T = kx\) を代入：
$$kx\cos\theta = mg \quad \Rightarrow \quad x = \frac{mg}{k\cos\theta}$$Step 3：角速度 \(\omega\) を求める
(2) に代入：
$$kx\sin\theta = m\omega^2(l + x)\sin\theta$$ $$kx = m\omega^2(l + x)$$ $$\omega^2 = \frac{kx}{m(l + x)} = \frac{mg/\cos\theta}{m(l + mg/(k\cos\theta))} = \frac{g}{l\cos\theta + mg/(k\cos\theta) \cdot \cos\theta}$$具体例（k = 20 N/m, l = 0.50 m, m = 0.10 kg, θ = 30°, g = 9.8 m/s²）：
$$x = \frac{0.10 \times 9.8}{20 \times \cos 30°} = \frac{0.98}{17.3} \fallingdotseq 0.057 \text{ m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{20 \times 0.057}{0.10 \times (0.50 + 0.057)}} \fallingdotseq \sqrt{\frac{1.14}{0.0557}} \fallingdotseq 4.5 \text{ rad/s}$$糸の場合（伸びなし）は長さ一定で \(T = mg/\cos\theta\) から直ちに：
$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}$$ばねの場合は「張力 = ばねの伸び × k」という追加条件があるため、角度 \(\theta\) が変わるとばねの伸びも変化し、2つの式を連立する必要があります。スライダーで角度を変えて、伸びと角速度がどう連動するか確認しましょう。
ばね付き円錐振り子では鉛直と水平の2つの式を連立する必要があります。糸の場合より式が複雑になりますが、手順は同じ：力の分解 → 各方向の式 → 連立して解く。