解法

半径 \(r\) のなめらかな半円筒の頂点 A から質量 \(m\) の小球を静かにすべらせたとき、球面から離れる角度 \(\theta_0\) を求める。

Step 1：中心方向の運動方程式

角度 \(\theta\) の位置で、重力の中心方向成分が向心力を提供：

$$ mg\cos\theta - N = \frac{mv^2}{r} \quad \cdots① $$

Step 2：エネルギー保存

頂点 A を基準にすると、高さ \(r(1 - \cos\theta)\) だけ下がるので：

$$ \frac{1}{2}mv^2 = mgr(1 - \cos\theta) $$ $$ v^2 = 2gr(1 - \cos\theta) \quad \cdots② $$

Step 3：離脱条件 \(N = 0\)

①で \(N = 0\) とし、②を代入：

$$ mg\cos\theta_0 = \frac{m \cdot 2gr(1 - \cos\theta_0)}{r} $$ $$ \cos\theta_0 = 2(1 - \cos\theta_0) = 2 - 2\cos\theta_0 $$ $$ 3\cos\theta_0 = 2 $$

数値計算の確認：質量 2.0 kg の物体が速度 3.0 m/s で運動するとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\) J。高さ 5.0 cm = 0.050 m から落とすと速さは \(v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.050} = 0.99\) m/s です。

補足：頂点でない位置から出発した場合

頂点ではなく速さ \(v_0\) で出発した場合、②が \(v^2 = v_0^2 + 2gr(1 - \cos\theta)\) に変わり、離脱角度も変化する。\(v_0\) が大きいほど早く（小さい \(\theta\) で）離脱する。