人工衛星は「常に地球に向かって落ちている」が、地球の丸みのおかげで地面に到達しない。軌道が高いほど万有引力が弱くなるので、必要な速度も小さくなる。速さは \(1/\sqrt{r}\) に比例して減少する。
質量 \(M\) の天体を中心に、半径 \(r\) の円軌道を回る質量 \(m\) の人工衛星の運動方程式：
$$ G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$これを \(v\) について解くと：
$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$\(GM = gR^2\) を代入すると：
$$ v = R\sqrt{\frac{g}{r}} $$周期は \(T = 2\pi r / v\) で求まる：
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$数値計算の確認：質量 2.0 kg の物体が速度 3.0 m/s で運動するとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\) J。高さ 5.0 cm = 0.050 m から落とすと速さは \(v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.050} = 0.99\) m/s です。
\(T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}\) を2乗すると \(T^2 = 4\pi^2 r^3/(GM)\)。よって \(T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM) = \text{定数}\)。これがケプラーの第3法則。
人工衛星の問題は「万有引力 = 向心力」が出発点。\(GM = gR^2\) の置換で \(G\) や \(M\) を消せる。\(v \propto 1/\sqrt{r}\)（軌道が高いほど遅い）は直感と合致する。