教科書（物理） 問12：定積モル比熱

解法

直感的理解

定積モル比熱 \(C_V\) は「体積一定で 1 mol の気体の温度を 1 K 上げるのに必要な熱量」です。単原子分子理想気体では、分子の運動エネルギーは3自由度（x, y, z 方向の並進）に均等に分配されるため、\(C_V = \frac{3}{2}R\) になります。

Step 1：定積モル比熱の定義

体積一定のもとで \(n\) mol の気体に \(Q\) の熱量を加え、温度が \(\Delta T\) 上昇したとき：

$$ Q = nC_V \Delta T $$

Step 2：数値を代入して計算

\(n = 1.5\) mol、\(Q = 75\) J、\(\Delta T = 4.0\) K を代入：

$$ C_V = \frac{Q}{n\Delta T} = \frac{75}{1.5 \times 4.0} = \frac{75}{6.0} = 12.5 \text{ J/(mol·K)} $$

Step 3：理論値との比較

単原子分子理想気体の理論値 \(C_V = \frac{3}{2}R\) と比較：

$$ C_V = \frac{3}{2} \times 8.31 = 12.5 \text{ J/(mol·K)} $$

実験値と理論値が一致しています。

答え：
\(C_V = 12.5\) J/(mol·K)
補足：二原子分子・多原子分子の比熱

エネルギー等分配則から、自由度 \(f\) の分子の定積モル比熱は \(C_V = \frac{f}{2}R\) です：

  • 単原子分子（He, Ar）：\(f = 3\)（並進3） → \(C_V = \frac{3}{2}R = 12.5\) J/(mol·K)
  • 二原子分子（N₂, O₂）：\(f = 5\)（並進3 + 回転2） → \(C_V = \frac{5}{2}R = 20.8\) J/(mol·K)
Point

単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R \fallingdotseq 12.5\) J/(mol·K) は最重要値。スライダーで Q や n を変えても \(C_V\) は一定であることを確認しましょう。