解法

Step 1：ポアソンの法則

断熱変化では \(Q = 0\) から以下が導けます：

$$ pV^\gamma = \text{一定} $$

ここで比熱比 \(\gamma = \frac{C_p}{C_V}\)。単原子分子では：

$$ \gamma = \frac{5/2 \cdot R}{3/2 \cdot R} = \frac{5}{3} \fallingdotseq 1.67 $$

Step 2：体積が 1/4 になったとき

\(p_1 V_1^{5/3} = p_2 (V_1/4)^{5/3}\) より：

$$ p_2 = p_1 \times 4^{5/3} = p_1 \times (2^2)^{5/3} = p_1 \times 2^{10/3} $$ $$ 2^{10/3} = 2^{3.33} \fallingdotseq 10.1 $$

よって圧力は約 10 倍に増加します。

Step 3：温度変化の計算

\(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\) を使うと：

$$ T_2 = T_1 \times \left(\frac{V_1}{V_1/4}\right)^{2/3} = T_1 \times 4^{2/3} = T_1 \times 2^{4/3} \fallingdotseq 2.52 \, T_1 $$

初期温度 300 K なら \(T_2 \fallingdotseq 756\) K（約 483 °C）まで上昇します。

補足：等温変化との比較

同じく体積を 1/4 にする場合でも、変化の種類で圧力の増え方が異なります：

• 等温変化（\(pV = \text{一定}\)）：\(p_2 = 4p_1\)（4倍）
• 断熱変化（\(pV^{5/3} = \text{一定}\)）：\(p_2 \fallingdotseq 10.1 \, p_1\)（約10倍）

断熱変化の方が圧力変化が大きいのは、圧縮で温度が上昇して圧力をさらに押し上げるためです。