解法

Step 1：ボイルの法則

温度一定のとき、一定量の理想気体の圧力 \(p\) と体積 \(V\) の積は一定：

$$ pV = \text{一定} \quad (T \text{ 一定}) $$

Step 2：計算

状態1（圧力 \(p_1 = 1.0 \times 10^5\) Pa、体積 \(V_1\)）から状態2（体積 \(V_2 = V_1 / 2\)）へ変化したとき：

$$ p_1 V_1 = p_2 V_2 $$ $$ 1.0 \times 10^5 \times V_1 = p_2 \times \frac{V_1}{2} $$ $$ p_2 = 2.0 \times 10^5 \text{ Pa} $$

数値例：27 °C = 300 K の理想気体 1.0 mol の内部エネルギーは、単原子分子で \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.31 \times 300 = 3740\) J ≒ 3.7 kJ です。

📐 補足：気体分子運動論との関係

理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存します。単原子分子では \(U = \frac{3}{2}nRT\)、二原子分子では \(U = \frac{5}{2}nRT\) です。自由度の違いが比熱比の違いに現れます。