気体の圧力は、無数の分子が壁に衝突して力積を与え続けることで生じます。1個の衝突は瞬間的ですが、膨大な分子が次々と衝突するため、平均として一定の圧力が観測されます。分子1個が壁に与える力積 \(2mv_x\) から出発し、全分子の寄与を集計すると \(p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) が導けます。
Step 1：1個の分子が壁に与える力積
質量 \(m\) の分子が速度の \(x\) 成分 \(v_x\) で壁に垂直に衝突し、弾性反射するとき、壁が受ける力積は：
$$ \Delta p_{\text{wall}} = 2mv_x $$Step 2：1個の分子が壁に及ぼす平均の力
一辺 \(L\) の立方体容器内で、分子が対向する壁の間を往復する時間は \(\frac{2L}{v_x}\)。したがって単位時間あたりの衝突回数は \(\frac{v_x}{2L}\) で、平均の力は：
$$ \bar{f} = 2mv_x \times \frac{v_x}{2L} = \frac{mv_x^2}{L} $$Step 3：N 個の分子による圧力
\(N\) 個の分子の寄与を合計し、面積 \(S = L^2\) で割ると：
$$ p = \frac{N \cdot m\overline{v_x^2}}{L^3} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{V} $$3次元で \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) なので：
$$ p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V} $$数値例：窒素分子（\(m = 4.65 \times 10^{-26}\) kg）が \(N = 2.7 \times 10^{25}\) 個、体積 \(V = 1.0 \times 10^{-3}\) m³、\(\sqrt{\overline{v^2}} = 500\) m/s のとき：
$$ p = \frac{2.7 \times 10^{25} \times 4.65 \times 10^{-26} \times 500^2}{3 \times 1.0 \times 10^{-3}} = \frac{2.7 \times 4.65 \times 2.5 \times 10^4}{3 \times 10^{-3}} \times 10^{-1} $$ $$ = \frac{313.9}{3 \times 10^{-3}} \times 10^{-1} \fallingdotseq 1.05 \times 10^5 \text{ Pa} $$分子運動論の結果 \(p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) と状態方程式 \(pV = NkT\) を比較すると：
$$ \frac{1}{3}Nm\overline{v^2} = NkT $$ $$ \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT $$これは「気体分子の平均運動エネルギーは絶対温度に比例する」ことを意味します。温度の分子論的な意味が明らかになります。
分子運動論の核心は「巨視的な圧力 = 微視的な衝突の集積」です。\(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) の等方性を使うのがポイント。シミュレーションで赤い追跡分子の軌跡を観察してみましょう。