教科書（物理） 例題6：斜め方向のドップラー効果

解法

直感的理解

音源が真横を通り過ぎる瞬間は \(\theta = 90°\) で \(\cos 90° = 0\)。ドップラー効果はゼロです。斜めに近づくときは、観測者に向かう速度成分 \(v_s \cos\theta\) だけが振動数を変化させます。

Step 1：有効速度

音源の速度 \(\vec{v}_s\) のうち SO 方向の成分が有効速度です：

$$ v_{\text{eff}} = v_s \cos\theta $$

Step 2：ドップラーの式に代入

$$ f' = \frac{V}{V - v_s \cos\theta} f $$

数値例：\(v_s = 20\) m/s、\(\theta = 37°\)（\(\cos 37° = 4/5\)）

$$ f' = \frac{340}{340 - 20 \times \frac{4}{5}} f = \frac{340}{340 - 16} f = \frac{340}{324} f \fallingdotseq 1.049 f $$

検算：340 - 20 の計算を確認しましょう。

答え
$$ f' = \frac{V}{V - v_s \cos\theta} f $$
補足：θ の変化と振動数の関係

音源が観測者を通り過ぎるとき、\(\theta\) は 0°→90°→180° と変化します。

  • \(\theta = 0°\)（正面から近づく）：\(f' = \dfrac{V}{V - v_s} f\)（最大）
  • \(\theta = 90°\)（真横）：\(f' = f\)（変化なし）
  • \(\theta = 180°\)（真後ろに遠ざかる）：\(f' = \dfrac{V}{V + v_s} f\)（最小）

真横を通過する瞬間に振動数が \(f' > f\) から \(f' < f\) に不連続的に変わるのが、救急車のサイレンが通過時に「ピーポー→ポーピー」と変わる原因です。

数値計算：340 × 20 = 6800 eff

数値計算：340 × 20 = 6800 eff

Point

斜め方向のドップラー効果：\(v_s\) を \(v_s \cos\theta\) に置き換えるだけ。\(\theta = 90°\) で効果ゼロが境界です。