音源が近づきながら音を出すと、最後の音ほど近くから発せられるので観測者に早く届きます。結果として音が凝縮され、短い時間に詰め込まれて聞こえます。これがドップラー効果で振動数が上がる本質です。
定量的な導出
音源が距離 \(d\) の位置から観測者に近づきながら \(t\) 秒間音を出します。
最初の音の到着時刻：
$$ t_1 = \frac{d}{V} $$最後の音の到着時刻：（\(t\) 秒後、音源は \(d - v_s t\) の位置）
$$ t_2 = t + \frac{d - v_s t}{V} $$観測時間：
$$ t_{\text{obs}} = t_2 - t_1 = t + \frac{d - v_s t}{V} - \frac{d}{V} = t - \frac{v_s t}{V} = \frac{V - v_s}{V} t $$\(v_s > 0\) より \(\dfrac{V - v_s}{V} < 1\) なので、\(t_{\text{obs}} < t\)。
数値計算の確認：音速 340 m/s、振動数 850 Hz の音の波長は \(\lambda = 340 / 850 = 0.40\) m/s × s = 40 cm。スピーカー間の距離 2.0 m で経路差が 20 cm なら、半波長の整数倍かどうかで干渉条件が決まります。
観測時間が \(\dfrac{V - v_s}{V}\) 倍に圧縮されるということは、同じ波の数が短い時間に詰まるので、振動数は逆数倍に増加します：
$$ f' = \frac{f \cdot t}{t_{\text{obs}}} = \frac{V}{V - v_s} f $$これはまさに音源が近づくドップラー効果の公式そのものです。
ドップラー効果の本質は「時間の圧縮・伸長」です。音源が近づくと発信時間が圧縮されて受信され、振動数が増えます。遠ざかる場合は逆に伸長され \(t_{\text{obs}} > t\) となります。