教科書(物理) 類題6:斜め方向のドップラー効果

解法

直感的理解

音源の速度ベクトルのうち、観測者に向かう成分だけがドップラー効果を生みます。\(\theta = 60°\) なので、速度の半分だけが有効です。

Step 1:有効速度

$$ v_{\text{eff}} = v_s \cos\theta = 34 \times \cos 60° = 34 \times 0.5 = 17 \text{ m/s} $$

Step 2:ドップラー公式に代入

$$ f' = \frac{V}{V - v_{\text{eff}}} f = \frac{340}{340 - 17} \times 660 $$ $$ = \frac{340}{323} \times 660 = \frac{224400}{323} \fallingdotseq 694.7 \text{ Hz} $$

音源が近づく方向(\(\theta < 90°\))なので振動数は上がります。

答え
$$ f' = \frac{V}{V - v_s \cos 60°} f = \frac{340}{323} \times 660 \fallingdotseq 695 \text{ Hz} $$
検算:特殊角での値

正面から近づく場合(\(\theta = 0°\)):

$$ f' = \frac{340}{340 - 34} \times 660 = \frac{340}{306} \times 660 \fallingdotseq 733.3 \text{ Hz} $$

真横(\(\theta = 90°\)):

$$ f' = \frac{340}{340} \times 660 = 660 \text{ Hz} $$

\(\theta = 60°\) の値 695 Hz はこれらの中間にあり、妥当です。

Point

斜め方向のドップラー:\(v_s \to v_s \cos\theta\) に置き換えるだけ。\(\theta < 90°\) で高く、\(\theta > 90°\) で低くなります。