解法

接触点 O から距離 \(x\) の位置での空気層の厚さ \(d(x)\) を求めます。紙の厚さを \(D\)、ガラスの長さを \(L\) とすると、三角形の相似から：

$$ d(x) = \frac{D}{L}\,x $$

真上から光を当てると、空気層の上面（ガラス下面）と下面（ガラス上面）で反射した光が干渉します。上面の反射は屈折率の大きい媒質（ガラス）から小さい媒質（空気）への反射なので位相変化なし、下面の反射は空気からガラスへの反射なので半波長分の位相変化（固定端反射に相当）が起こります。

したがって、経路差 \(2d\) に半波長のずれを加えた干渉条件は：

$$ \text{暗線（弱め合い）：} \quad 2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $$ $$ \text{明線（強め合い）：} \quad 2d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $$

ここで \(d = \dfrac{D}{L}\,x\) を代入すると、\(m\) 番目の暗線の位置 \(x_m\) は：

$$ 2 \cdot \frac{D}{L}\,x_m = m\lambda \quad \Longrightarrow \quad x_m = \frac{m\lambda L}{2D} $$

隣り合う暗線（\(m\) と \(m+1\)）の間隔 \(\Delta x\) を求めると：

$$ \Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{(m+1)\lambda L}{2D} - \frac{m\lambda L}{2D} $$ $$ \therefore \quad \Delta x = \frac{\lambda L}{2D} $$

この結果は \(m\) に依存しないため、縞の間隔はどの位置でも一定（等間隔）です。これはくさび形の厚さが位置 \(x\) の一次関数であることに起因します。

補足：なぜ縞は等間隔になるのか

くさび形では空気層の厚さ \(d(x)\) が位置 \(x\) に比例（一次関数）するため、干渉条件の変化も \(x\) に対して等間隔で起こります。

一方、ニュートンリングでは凸レンズと平面ガラスの間の空気層の厚さが \(d \propto x^2\)（二次関数）で変化するため、リングの間隔は外側に行くほど狭くなります。

つまり、\(d(x)\) の関数形が線形か非線形かで、縞の等間隔性が決まります。

別解：明線条件から求める

明線の位置 \(x'_m\) は：

$$ 2d = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \Longrightarrow \quad x'_m = \frac{(2m+1)\lambda L}{4D} $$

隣り合う明線の間隔も同様に：

$$ \Delta x = x'_{m+1} - x'_m = \frac{(2m+3)\lambda L}{4D} - \frac{(2m+1)\lambda L}{4D} = \frac{\lambda L}{2D} $$

暗線で求めた結果と一致します。明線でも暗線でも縞間隔は同じ \(\dfrac{\lambda L}{2D}\) です。

🧮 数値計算で確認

波長 \(\lambda = 0.80\) m、振動数 \(f = 425\) Hz の場合：

$$v = f\lambda = 425 \times 0.80 = 340 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{425} \fallingdotseq 2.4 \times 10^{-3} \text{ s}$$ $$\text{2.0 m 先に到達する時間: } t = \frac{2.0}{340} \fallingdotseq 5.9 \times 10^{-3} \text{ s}$$