平凸レンズの球面は曲率半径 \(R\) の球の一部です。球面と平面ガラスの間にできる空気の隙間は、中心から離れるほど厚くなります。\(r \ll R\) のときは \(d\) は \(r\) の2乗に比例し、非常に薄い空気層です。
レンズの球面（曲率半径 \(R\)）と平面ガラスの接点 O から距離 \(r\) の位置での空気層の厚さ \(d\) を求めます。
球面の中心を原点として、接点 O からの距離 \(r\) の点は球面上にあるので：
$$R^2 = (R - d)^2 + r^2$$展開すると：
$$R^2 = R^2 - 2Rd + d^2 + r^2$$\(r \ll R\) のとき \(d \ll R\) なので \(d^2 \fallingdotseq 0\) として無視すると：
$$2Rd = r^2$$ $$\therefore\quad d = \frac{r^2}{2R}$$\(\displaystyle d = \frac{r^2}{2R}\)
例えば \(R = 5.0\) m、\(r = 3\) mm のとき \(d = r^2/(2R) = (3 \times 10^{-3})^2 / (2 \times 5.0) = 9 \times 10^{-7}\) m = 0.9 μm です。\(d^2 = 8.1 \times 10^{-13}\) m² に対し \(r^2 = 9 \times 10^{-6}\) m² なので、\(d^2\) は \(r^2\) の約 \(10^{-7}\) 倍であり、無視は十分妥当です。
三平方の定理から出発し、\(d^2 \fallingdotseq 0\) の近似で簡潔な式 \(d = r^2/(2R)\) を得ます。この式はニュートンリングだけでなく、凸レンズ一般のたわみ（サグ）の公式としても重要です。
暗環は光が弱めあう位置です。空気層で反射する光は、平面ガラス上面で「固定端反射」により位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。レンズ下面での反射では位相は変わりません。この1回の位相ずれにより、中心（\(d = 0\)）が暗くなり、そこから外側に暗環・明環が交互に並びます。
(1) の結果 \(d = \dfrac{r^2}{2R}\) を使って暗環の条件を立てます。
空気層の上面（レンズ下面）での反射は「屈折率 大 → 小」で位相変化なし。空気層の下面（平面ガラス上面）での反射は「屈折率 小 → 大」で位相が \(\pi\) ずれる（半波長分）。
したがって、2つの反射光の間に空気層の光路差 \(2d\) に加えて半波長分のずれがあります。弱め合い（暗環）の条件は：
$$2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$\(d = \dfrac{r^2}{2R}\) を代入すると：
$$2 \times \frac{r^2}{2R} = m\lambda$$ $$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$ $$\therefore\quad r_m = \sqrt{m R \lambda}$$\(m = 0\) のとき \(r_0 = 0\) なので、接点 O 自体が0番目の暗環（暗い中心点）になります。
\(\displaystyle r_m = \sqrt{mR\lambda}\)
明環（強め合い）の条件は \(2d = (m + \tfrac{1}{2})\lambda\) なので、明環の半径は：
$$r_m' = \sqrt{\left(m + \frac{1}{2}\right) R\lambda}$$暗環 \(r_m = \sqrt{mR\lambda}\) と比べると、同じ \(m\) では暗環の方が内側にあります。
中心（\(r = 0\)）では空気層の厚さ \(d = 0\) です。光路差は0ですが、ガラス上面での反射で位相が \(\pi\) ずれるため、2つの反射光は逆位相になり弱め合います。これがニュートンリングの中心が暗い理由です。もし空気の代わりに屈折率の大きな液体で満たすと、両面とも「小→大」の反射になり、中心が明るくなります。
\(r_m \propto \sqrt{m}\) なので、外側の暗環ほど間隔が狭くなります。これはニュートンリングの特徴的な見え方で、等間隔の縞とは異なります。
暗環の半径は mm オーダーです。可視光の波長は約 500 nm、レンズの曲率半径は数 m なので、\(\sqrt{mR\lambda}\) はミリメートル程度になります。実際にニュートンリングを観察すると、非常に小さな環がレンズの接触点の周りに見えます。
\(R = 5.0\) m、\(\lambda = 5.5 \times 10^{-7}\) m、\(m = 3\) を (2) の結果に代入します。
$$r_3 = \sqrt{m R \lambda} = \sqrt{3 \times 5.0 \times 5.5 \times 10^{-7}}$$まず中身を計算します：
$$3 \times 5.0 \times 5.5 \times 10^{-7} = 82.5 \times 10^{-7} = 8.25 \times 10^{-6}$$平方根を取ると：
$$r_3 = \sqrt{8.25 \times 10^{-6}} = \sqrt{8.25} \times 10^{-3} \fallingdotseq 2.87 \times 10^{-3} \text{ m}$$ $$\therefore\quad r_3 \fallingdotseq 2.9 \text{ mm}$$\(r_3 \fallingdotseq 2.9\) mm
同じ条件で各暗環の半径を計算すると：
隣り合う暗環の間隔は \(r_2 - r_1 \fallingdotseq 0.69\) mm、\(r_3 - r_2 \fallingdotseq 0.52\) mm、\(r_4 - r_3 \fallingdotseq 0.45\) mm と外側ほど狭くなることが確認できます。
実験では暗環の半径 \(r_m\) を測定し、\(r_m^2 = mR\lambda\) を使って曲率半径 \(R\) を求めます。\(r_m^2\) を縦軸、\(m\) を横軸にプロットすると傾きが \(R\lambda\) の直線になるので、\(\lambda\) が既知なら \(R\) が精密に求まります。
\(\sqrt{8.25} \fallingdotseq 2.87\) の計算では、\(\sqrt{9} = 3\) を手がかりにすると概算しやすいです。有効数字2桁で \(2.9\) mm と答えます。