教科書(物理) 問10:等電位面と仕事

解法

直感的理解

等電位面上の移動では電位差がゼロなので、外力の仕事もゼロです。等電位面を横切るときだけ、電位差に応じた仕事が発生します。「等高線を横切ると高さが変わる」のと同じイメージです。

+1 C の試験電荷を外力でゆっくり運ぶとき、外力の仕事は

$$ W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} - V_{\text{始}}) $$

で求まります。例えば BC 間(6 V → 4 V)では:

$$ W_{BC} = 1 \times (4 - 6) = -2 \text{ J} $$

DE 間(4 V → 2 V)も同様に:

$$ W_{DE} = 1 \times (2 - 4) = -2 \text{ J} $$

同じ等電位面上の移動(AB, CD, EF)では電位差がゼロなので \(W = 0\) です。

答え

AB:0 J(同じ等電位面 6 V 上の移動)

BC:−2 J(6 V → 4 V、\(W = 1 \times (4 - 6) = -2\) J)

CD:0 J(同じ等電位面 4 V 上の移動)

DE:−2 J(4 V → 2 V、\(W = 1 \times (2 - 4) = -2\) J)

EF:0 J(同じ等電位面 2 V 上の移動)

補足:なぜ外力の仕事が負になるのか

正電荷は電位の高い方から低い方へ移動するとき、電場から正の仕事をされます。このとき外力は電場の力と逆向き(ブレーキ役)なので、外力の仕事は負になります。

逆に低い電位から高い電位に運ぶ場合、外力は電場に逆らって正の仕事をします。

補足:経路によらない理由

静電気力は保存力なので、仕事は経路に依存せず始点と終点の電位差だけで決まります。A → F を直線で結んでも曲線で結んでも、外力の仕事の合計は同じ \(1 \times (2 - 6) = -4\) J です。

Point

等電位面上の移動 → 仕事 0。等電位面を横切る → \(W = q \Delta V\)。正電荷が電位の下がる向きに移動するとき、外力の仕事は負(電場が仕事をしてくれるので外力は不要、むしろブレーキ)。