解法

Step 1：誘電体挿入の効果

極板間が真空のときの電気容量 \(C_0 = \varepsilon_0 \dfrac{S}{d}\) に対し、比誘電率 \(\varepsilon_r\) の誘電体を挿入すると：

$$ C = \varepsilon_r C_0 = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d} $$

Step 2：電池をつないだまま挿入する場合

電圧 \(V\) 一定のとき、蓄えられる電気量は \(Q = CV\) なので：

$$ Q = \varepsilon_r C_0 V = \varepsilon_r Q_0 $$

電気量が \(\varepsilon_r\) 倍に増加します。極板間の電場は \(E = V/d\) で変わりません。

Step 3：電池を外してから挿入する場合

電気量 \(Q_0\) 一定のとき、電圧は \(V = Q_0/C\) なので：

$$ V = \frac{Q_0}{\varepsilon_r C_0} = \frac{V_0}{\varepsilon_r} $$

電圧が \(1/\varepsilon_r\) 倍に減少します。

数値例：\(\varepsilon_r = 5.0\) のガラスを挿入する場合

\(C_0 = 2.0\) μF のとき：

$$ C = 5.0 \times 2.0 = 10 \text{ μF} $$

電池つなぎっぱなし（\(V = 12\) V）のとき：

$$ Q = 10 \times 10^{-6} \times 12 = 1.2 \times 10^{-4} \text{ C} = 120 \text{ μC} $$

📐 誘電体による電場の弱まりの仕組み

誘電体を挿入すると、分子が電場方向に分極し、極板の電荷を一部打ち消す方向の電場が生じます。結果として、誘電体内部の電場は真空中の \(1/\varepsilon_r\) 倍に弱まります：

$$ E_{\text{誘電体}} = \frac{E_0}{\varepsilon_r} $$

この効果により、同じ電圧でもより多くの電荷を蓄えられます。