教科書（物理） 問18：コンデンサーに蓄えられるエネルギー

解法

直感的理解

並列接続では両方のコンデンサーに同じ電圧がかかるので、容量の大きい \(C_1\) の方がエネルギーを多く蓄えます。直列接続では同じ電荷が蓄えられるので、容量の小さい \(C_2\) の方がエネルギーを多く蓄えます（小さな器に同じ量を入れると「圧力」が高くなるイメージ）。

(ア) 並列接続

並列接続では、両コンデンサーに同じ電圧 \(V\) がかかります。

$$ U_1 = \frac{1}{2}C_1 V^2 = \frac{1}{2}(2C_2)V^2 = C_2 V^2 $$ $$ U_2 = \frac{1}{2}C_2 V^2 $$ $$ \therefore \quad \frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2 V^2}{\frac{1}{2}C_2 V^2} = 2 $$
答え（ア）
\(C_1\) に蓄えられた静電エネルギーは \(C_2\) の 2倍

(イ) 直列接続

直列接続では、両コンデンサーに同じ電荷 \(Q\) が蓄えられます。合成容量を求めます。

$$ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2C_2} + \frac{1}{C_2} = \frac{3}{2C_2} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{2C_2}{3} $$ $$ Q = CV = \frac{2C_2 V}{3} $$

各コンデンサーのエネルギーを \(U = \frac{Q^2}{2C}\) で求めます。

$$ U_1 = \frac{Q^2}{2C_1} = \frac{\left(\frac{2C_2 V}{3}\right)^2}{2 \cdot 2C_2} = \frac{\frac{4C_2^2 V^2}{9}}{4C_2} = \frac{C_2 V^2}{9} $$ $$ U_2 = \frac{Q^2}{2C_2} = \frac{\left(\frac{2C_2 V}{3}\right)^2}{2C_2} = \frac{\frac{4C_2^2 V^2}{9}}{2C_2} = \frac{2C_2 V^2}{9} $$ $$ \therefore \quad \frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{C_2 V^2}{9}}{\frac{2C_2 V^2}{9}} = \frac{1}{2} $$
答え（イ）
\(C_1\) に蓄えられた静電エネルギーは \(C_2\) の \(\frac{1}{2}\) 倍
補足：なぜ並列と直列で比が逆転するのか

静電エネルギーは \(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}\) と書けます。

  • 並列: \(V\) が共通 → \(U \propto C\) → 容量が大きい方がエネルギー大
  • 直列: \(Q\) が共通 → \(U \propto \frac{1}{C}\) → 容量が小さい方がエネルギー大

\(C_1 = 2C_2\) なので、並列では \(U_1/U_2 = 2\)、直列では \(U_1/U_2 = 1/2\) と、ちょうど逆転します。

Point

エネルギーの比較では共通な物理量に注目し、適切な公式の形を選びます。並列は \(V\) 共通 → \(\frac{1}{2}CV^2\)、直列は \(Q\) 共通 → \(\frac{Q^2}{2C}\) を使います。