教科書(物理) 問9:点電荷のまわりの電位

解法

直感的理解

点電荷のまわりの電位は、電荷から離れるほど小さくなります。正の点電荷は「電位の山」をつくり、その高さは距離に反比例して減衰します。等電位面は電荷を中心とする同心球面になります。

点電荷 \(Q\) から距離 \(r\) 離れた点の電位 \(V\) は次の公式で求められます。

$$ V = k\frac{Q}{r} $$

値を代入します:

$$ V = \frac{9.0 \times 10^{9} \times 3.0 \times 10^{-8}}{0.60} $$

分子を計算すると:

$$ 9.0 \times 3.0 = 27.0, \quad 10^{9} \times 10^{-8} = 10^{1} $$ $$ \therefore \quad \text{分子} = 27.0 \times 10 = 270 $$

最後に距離で割ります:

$$ V = \frac{270}{0.60} = 450 \text{ V} $$

数値計算の確認:電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C の電子が電位差 100 V で加速されると、運動エネルギーは \(eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 100 = 1.6 \times 10^{-17}\) J = 100 eV です。

答え
$$ V = 450 \text{ V} $$
補足:指数計算のコツ

クーロン定数 \(k = 9.0 \times 10^{9}\) と電荷 \(Q = 3.0 \times 10^{-8}\) C の積では、まず係数どうし(\(9.0 \times 3.0 = 27\))と指数どうし(\(10^{9} \times 10^{-8} = 10^{1}\))を分けて計算すると、ミスが減ります。

Point

点電荷の電位 \(V = k\dfrac{Q}{r}\) は距離 \(r\) に反比例します(電場 \(E \propto \dfrac{1}{r^{2}}\) とは減衰の仕方が異なる点に注意)。また電位はスカラー量なので、複数の電荷がある場合は単純に足し算できます。