教科書（物理） 演習問題5：コンデンサー回路

(1) 合成容量

直感的理解
C₂ と C₃ が並列で繋がっているので、まず容量を足し算して1つにまとめます。次に、そのまとまりが C₁ と直列になっているので、逆数の足し算で全体の合成容量を求めます。並列 → 足し算、直列 → 逆数の足し算という2段階の手順です。

まず C₂ と C₃ の並列合成を求め、次に C₁ との直列合成を行います。

C₂ と C₃ は並列接続なので：

$$ C_{23} = C_2 + C_3 = 1 + 1 = 2 \text{ μF} $$

C₁ と C₂₃ は直列接続なので：

$$ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 5}{10} = \frac{6}{10} $$ $$ \therefore\ C = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \text{ μF} \fallingdotseq 1.67 \text{ μF} $$
答え
合成容量 \(C = \dfrac{5}{3}\) μF \(\fallingdotseq 1.67\) μF
補足：直列合成の公式（2つの場合）

コンデンサーが2つだけの直列接続では「和分の積」が使えます：

$$ C = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{10 \times 2}{10 + 2} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \text{ μF} $$
Point

並列・直列の混合回路では、まず並列部分を合成し、次に直列部分を合成する。段階的に回路を単純化していくのが鉄則。

(2) C₁の電圧、(3) C₂・C₃の電気量

直感的理解
直列接続では同じ電気量 Q が流れる。全体の電気量を合成容量から求め、Q = CV でC₁の電圧を求めます。残りの電圧が C₂₃ にかかり、並列部分では電圧が共通なので Q₂ = C₂V₂₃、Q₃ = C₃V₂₃ で各電気量が出ます。

全体の電気量 Q を求め、直列部分の電圧配分から各値を導きます。

全体の電気量：

$$ Q = CV = \frac{5}{3} \times 10^{-6} \times 10 = \frac{50}{3} \times 10^{-6} \text{ C} \fallingdotseq 16.7 \text{ μC} $$

直列接続では C₁ と C₂₃ に同じ電気量 Q が蓄えられるので、C₁ の電圧は：

$$ V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{\dfrac{50}{3} \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \text{ V} \fallingdotseq 1.67 \text{ V} $$

C₂・C₃ の並列部分にかかる電圧：

$$ V_{23} = V - V_1 = 10 - \frac{5}{3} = \frac{25}{3} \text{ V} \fallingdotseq 8.33 \text{ V} $$

並列接続では電圧が共通なので、各コンデンサーの電気量は：

$$ Q_2 = C_2 V_{23} = 1 \times 10^{-6} \times \frac{25}{3} = \frac{25}{3} \times 10^{-6} \text{ C} \fallingdotseq 8.33 \text{ μC} $$ $$ Q_3 = C_3 V_{23} = 1 \times 10^{-6} \times \frac{25}{3} = \frac{25}{3} \times 10^{-6} \text{ C} \fallingdotseq 8.33 \text{ μC} $$

検算：\(Q_2 + Q_3 = \dfrac{25}{3} + \dfrac{25}{3} = \dfrac{50}{3}\) μC = \(Q\)（直列部分の電気量と一致 ✓）

数値計算の確認：電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C の電子が電位差 100 V で加速されると、運動エネルギーは \(eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 100 = 1.6 \times 10^{-17}\) J = 100 eV です。

答え
(2) C₁ の電圧 \(V_1 = \dfrac{5}{3}\) V \(\fallingdotseq 1.67\) V
(3) \(Q_2 = Q_3 = \dfrac{25}{3} \times 10^{-6}\) C \(\fallingdotseq 8.33\) μC
別解：電圧の分配比から直接求める

直列接続では Q が共通なので、\(Q = C_1 V_1 = C_{23} V_{23}\) より：

$$ \frac{V_1}{V_{23}} = \frac{C_{23}}{C_1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$

\(V_1 + V_{23} = 10\) V から：

$$ V_1 = 10 \times \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \text{ V},\quad V_{23} = 10 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{3} \text{ V} $$

容量の逆比で電圧が配分されるので、容量が小さい並列部分（C₂₃ = 2 μF）が大きな電圧を受け持ちます。

補足：C₂ = C₃ の場合の特徴

今回 \(C_2 = C_3 = 1\) μF と等しいため、並列部分にかかる電圧が等しく配分され \(Q_2 = Q_3\) となります。

一般に \(C_2 \neq C_3\) の場合は、電圧 \(V_{23}\) は共通でも電気量は \(Q_2 = C_2 V_{23}\)、\(Q_3 = C_3 V_{23}\) と容量に比例して配分されます。

Point

混合回路の手順：(1) 並列を合成 → (2) 直列の合成容量 → (3) 全体の Q → (4) 直列で Q 共通から電圧配分 → (5) 並列で V 共通から電気量配分。直列では Q が共通、並列では V が共通という原則を段階的に適用する。