解法

解法の流れ： (1) 平行板コンデンサーの電場 \(E_0 = V/d\)、(2) ガウスの法則から電荷 \(Q = \varepsilon_0 E_0 S\)、(3) 各極板の作る電場は \(E_0/2\)。一方の極板の電荷 \(Q\) が、他方の極板が作る電場 \(E_0/2\) から受ける力が求める引力です。下のシミュレーションで、極板間隔 \(d\) や電圧 \(V\) を変えて \(F\) がどう変わるか確認しましょう。

(1) 電場の強さ \(E_0\)

平行板コンデンサーの極板間には一様な電場が生じます。電位差 \(V\) と極板間隔 \(d\) の関係から

$$ E_0 = \frac{V}{d} $$

(2) 電荷量 \(Q\)

ガウスの法則より、一方の極板から出る電気力線の総数 \(N\) は

$$ N = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$

一様な電場が面積 \(S\) の極板を貫くので

$$ N = E_0 S $$

これらを等置して

$$ \frac{Q}{\varepsilon_0} = E_0 S $$ $$ Q = \varepsilon_0 E_0 S $$

📐 別解：クーロン定数 \(k_0\) を使う導出

電気力線の総数は \(N = 4\pi k_0 Q\) と表されます。面積 \(S\) を貫く電気力線の数が \(E_0 S\) なので

$$ E_0 S = 4\pi k_0 Q $$

\(k_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) を代入すると

$$ E_0 S = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad Q = \varepsilon_0 E_0 S $$

同じ結果が得られます。

(3) 極板間の引力 \(F\)

ここが最も重要なポイントです。極板間の電場 \(E_0\) は、2枚の極板がそれぞれ作る電場の重ね合わせです。

各極板は一様な電場 \(\frac{E_0}{2}\) を作ります（ヒントより）。極板間では同じ向きに重なるので

$$ E_0 = \frac{E_0}{2} + \frac{E_0}{2} $$

一方の極板（電荷 \(Q\)）が受ける電場は、相手の極板が作る \(E_0/2\) だけです（自分自身の電場では自分に力がはたらかない）。

$$ F = Q \times \frac{E_0}{2} = \varepsilon_0 E_0 S \times \frac{E_0}{2} = \frac{\varepsilon_0 E_0^2 S}{2} $$

\(E_0 = V/d\) を代入すると

$$ F = \frac{\varepsilon_0 S}{2} \left(\frac{V}{d}\right)^2 = \frac{\varepsilon_0 V^2 S}{2d^2} $$

💡 なぜ \(E_0\) ではなく \(E_0/2\) を使うのか

極板間の電場 \(E_0\) は2枚の極板が作る電場の合成です。

• +極板が作る電場：\(E_0/2\)（+極板から離れる向き）
• \(-\)極板が作る電場：\(E_0/2\)（\(-\)極板に向かう向き）

極板間ではこの2つが同じ向きに足し合わされて \(E_0\) になります。しかし、+極板が受ける力を考えるとき、+極板自身が作った電場は+極板に力を及ぼしません。

したがって +極板が受ける電場は \(-\)極板が作る \(E_0/2\) のみであり、\(F = Q \cdot E_0/2\) となります。

これは「自分自身の電場で自分を引っ張ることはできない」という基本原理に基づいています。

🔬 発展：静電エネルギーからの導出

コンデンサーの静電エネルギーは

$$ U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S} $$

電池を外した後は \(Q\) 一定なので、極板間隔 \(d\) を微小量 \(\Delta d\) だけ広げたときのエネルギー変化から力を求められます。

$$ F = -\frac{\Delta U}{\Delta d} = -\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} $$

符号が負なので引力（間隔を縮める向き）です。大きさは

$$ F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{(\varepsilon_0 E_0 S)^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\varepsilon_0 E_0^2 S}{2} $$

電場から求めた結果と一致します。