教科書(物理) 演習問題7:電位と電場のグラフ

解法

直感的理解

\(+Q\)(原点)と \(-4Q\)(\(x = a\))の電位を重ね合わせると、負電荷の方が電気量が大きいため全体的に電位は負に偏ります。V = 0 になるのは、正電荷に十分近い2つの点です。E = 0 の点は「電位の山」や「電位の谷」にあたる極値で、グラフの接線が水平になる位置です。

(1) V = 0 となる点

\(+Q\) を原点、\(-4Q\) を \(x = a\) に置くと、電位は:

$$ V(x) = \frac{kQ}{|x|} + \frac{k(-4Q)}{|x - a|} $$

\(V = 0\) の条件 \(\dfrac{1}{|x|} = \dfrac{4}{|x-a|}\)、すなわち \(|x - a| = 4|x|\) を解きます。

\(x < 0\) の場合(\(+Q\) の左側):\(a - x = -4x\) より \(3x = -a\):

$$ x = -\frac{a}{3} $$

\(0 < x < a\) の場合(2つの電荷の間):\(a - x = 4x\) より \(5x = a\):

$$ x = \frac{a}{5} $$

(2) 電場の強さが 0 になる点

電場が 0 の点では、V-x グラフの接線の傾きが 0(極値)になります。

数式で確認すると、\(0 < x < a\) での条件 \(\frac{dV}{dx} = 0\) は:

同様に \(x < 0\) の領域でも \(E = 0\) の点があり、\(x = -a\) で極小値をとります。

(3) x < 0 の領域での電場の向き

x < 0 の領域を2つに分けて考えます:

境界の \(x = -a\) が E = 0 の点(極小値)で、電場の向きが切り替わります。

(1) の答え:
\(\displaystyle x = -\frac{a}{3}\) と \(\displaystyle x = \frac{a}{5}\) の2点で \(V = 0\)
(2) の答え:
V-x グラフの接線が水平になる点を読み取ると、\(\displaystyle x = -a\)(極小)と \(\displaystyle x = \frac{a}{3}\)(極小)で \(E = 0\)
(3) の答え:

\(x < -a\) では電場は x 軸の正の向き(右向き)

\(-a < x < 0\) では電場は x 軸の負の向き(左向き)

補足:なぜ「傾き 0 = 電場 0」なのか

電場と電位の関係は \(E = -\frac{dV}{dx}\) です。\(\frac{dV}{dx}\) は V-x グラフの傾きそのものなので:

  • 傾き = 0 → \(E = -0 = 0\)(電場なし)
  • 傾き > 0(右上がり) → \(E < 0\)(負の向きの電場)
  • 傾き < 0(右下がり) → \(E > 0\)(正の向きの電場)

これは v-t グラフの傾きが加速度を表すのと同じ関係です。

補足:物理的な直感

\(x < -a\) の領域(\(+Q\) から遠く離れた左側)では、\(-4Q\) の影響が大きく、正の電荷が引かれる方向(\(-4Q\) に向かう右向き)に電場が向きます。

一方、\(-a < x < 0\) の領域(\(+Q\) のすぐ左)では、\(+Q\) による斥力が支配的で、電場は左向き(\(+Q\) から遠ざかる向き)になります。

つまり \(x = -a\) は、2つの電荷からの電場がちょうど釣り合う点です。

Point

V-x グラフの読み取り3点セット:(1) V = 0:グラフが x 軸を横切る点。(2) E = 0:グラフの極値(傾き 0)の点。(3) E の向き:グラフの傾きの符号から \(E = -dV/dx\) で判定。この3つを押さえれば、V-x グラフから電場の全情報が読み取れます。