解法

Step 1：AP, BP の距離を求める

A, B の中点を O とすると、\(AO = BO = \dfrac{d}{2}\)、\(OP = \dfrac{d}{2}\) であり、\(\angle AOP = 90°\) なので三平方の定理より：

$$AP = BP = \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}}$$

Step 2：各電荷がつくる電場の大きさ

\(+Q\) が P につくる電場 \(E_1\) と、\(-Q\) が P につくる電場 \(E_2\) の大きさは等しく：

$$E_1 = E_2 = \frac{kQ}{\left(\dfrac{d}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{kQ}{\dfrac{d^2}{2}} = \frac{2kQ}{d^2}$$

Step 3：電場の向き

• \(E_1\)：\(+Q\)（A）が P を「押す」向き → A から P に向かう方向（右上向き 45°）
• \(E_2\)：\(-Q\)（B）が P を「引く」向き → P から B に向かう方向（右下向き 45°）

Step 4：成分に分解して合成

AB 方向を水平、OP 方向を垂直とすると：

• 垂直成分：\(E_1\) の上向き成分と \(E_2\) の下向き成分は大きさが等しく打ち消し合う
• 水平成分（AB 方向）：両方とも A→B 方向で足し合わさる

各電場の水平成分は \(\cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) を使って：

$$E_1 \cos 45° = E_2 \cos 45° = \frac{2kQ}{d^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\,kQ}{d^2}$$

合成電場は：

$$E = 2 \times \frac{\sqrt{2}\,kQ}{d^2} = \frac{2\sqrt{2}\,kQ}{d^2}$$

数値計算の確認：電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C の電子が電位差 100 V で加速されると、運動エネルギーは \(eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 100 = 1.6 \times 10^{-17}\) J = 100 eV です。

💡 別解：ベクトルの合成公式を使う方法

大きさが等しい2つのベクトル \(E_1 = E_2 = E_0\) のなす角が \(\theta\) のとき、合成ベクトルの大きさは：

$$E = 2E_0 \cos\frac{\theta}{2}$$

\(E_1\) と \(E_2\) のなす角は \(90°\)（右上 45° と右下 45° の間の角）なので：

$$E = 2 \cdot \frac{2kQ}{d^2} \cdot \cos 45° = 2 \cdot \frac{2kQ}{d^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}\,kQ}{d^2}$$

同じ結果が得られます。2つのベクトルが等しい大きさのときは、この公式が便利です。

🔍 補足：なぜ垂直成分は打ち消し合うのか

P は AB の中点 O の真上にあるため、\(\triangle APO\) と \(\triangle BPO\) は合同です。したがって：

• \(E_1\) の垂直成分（上向き）= \(E_1 \sin 45°\)
• \(E_2\) の垂直成分（下向き）= \(E_2 \sin 45°\)

\(E_1 = E_2\) なので垂直成分は大きさが等しく向きが反対 → 完全に打ち消し合います。これは対称性から必然的に導かれます。