誘電体を挿入すると、極板間の空間が「真空の層」と「誘電体の層」に分割されます。電場は各層を直列に通過するため、これは2つのコンデンサーが直列に接続された回路と等価です。誘電体の層は比誘電率 \(\varepsilon_r\) 倍の電気容量を持つため、全体の容量は誘電体なしの場合と誘電体で完全に満たした場合の中間の値になります。
誘電体を挿入すると、極板間が真空部分と誘電体部分の2層に分かれます。これらは直列に接続された2つのコンデンサーと等価です。
各部分の厚さは：
平行板コンデンサーの公式 \(C = \varepsilon_0 S / d'\)（\(d'\) は極板間距離）を各層に適用します。
真空部分（\(C_1\)）：
$$C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{\dfrac{2d}{3}} = \frac{3\varepsilon_0 S}{2d}$$誘電体部分（\(C_2\)）：
$$C_2 = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{\dfrac{d}{3}} = \frac{3\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}$$直列合成の公式を適用します。
$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{2d}{3\varepsilon_0 S} + \frac{d}{3\varepsilon_r \varepsilon_0 S}$$通分して整理します。
$$\frac{1}{C} = \frac{2\varepsilon_r d + d}{3\varepsilon_r \varepsilon_0 S} = \frac{d(2\varepsilon_r + 1)}{3\varepsilon_r \varepsilon_0 S}$$逆数をとると：
$$C = \frac{3\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d(2\varepsilon_r + 1)}$$数値計算の確認：電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C の電子が電位差 100 V で加速されると、運動エネルギーは \(eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 100 = 1.6 \times 10^{-17}\) J = 100 eV です。
\(\varepsilon_r = 1\)（誘電体なし）のとき：
$$C = \frac{3 \times 1 \times \varepsilon_0 S}{d(2 + 1)} = \frac{3\varepsilon_0 S}{3d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$これは何も挿入していない場合の電気容量と一致します。✓
\(\varepsilon_r \to \infty\)（導体板を挿入した場合に相当）のとき：
$$C \fallingdotseq \frac{3\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d \cdot 2\varepsilon_r} = \frac{3\varepsilon_0 S}{2d}$$これは極板間距離が \(2d/3\) に縮まった場合の容量 \(\varepsilon_0 S / (2d/3) = 3\varepsilon_0 S / (2d)\) と一致します。誘電体の誘電率が無限大ならその部分は導体と同等なので、真空部分の距離 \(2d/3\) だけで決まります。✓
2つの層を通過する電場の向きは同じで、電位差は各層での電位降下の合計になります。これは \(V = V_1 + V_2\) という直列回路の電圧則そのものです。また、各層の極板面に誘導される電荷量は等しい（\(Q_1 = Q_2 = Q\)）ため、直列合成と同じ関係 \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\) が成り立ちます。
金属板（導体）を挿入すると、導体内部の電場はゼロになるため、導体の厚さ分だけ実効的な極板間距離が縮まります。厚さ \(d/3\) の金属板なら \(C = \varepsilon_0 S / (d - d/3) = 3\varepsilon_0 S / (2d)\) となります。
一方、誘電体は電場を弱めるだけで完全にゼロにはしないため、金属板ほどには容量が増加しません。\(\varepsilon_r\) が大きいほど金属板に近づきます。