金属の抵抗率は温度が上がると大きくなります。これは温度が上がると金属中の原子の熱振動が激しくなり、自由電子の移動が妨げられるためです。増加分 \(\Delta\rho\) は 0°C での抵抗率 \(\rho_0\)、温度係数 \(\alpha\)、温度変化 \(\Delta T\) の積で求められます。
Step 1：問題の整理
金属の抵抗率は温度に比例して増加します。温度変化 \(\Delta T\) による抵抗率の増加分 \(\Delta\rho\) は次の式で求められます：
$$ \rho = \rho_0(1 + \alpha \Delta T) $$ここで、増加分は：
$$ \Delta\rho = \rho - \rho_0 = \rho_0 \alpha \Delta T $$Step 2：数値の代入
Step 3：計算
$$ \Delta\rho = 2.5 \times 10^{-8} \times 4.2 \times 10^{-3} \times 40 $$係数部分：\(2.5 \times 4.2 \times 40 = 420\)
指数部分：\(10^{-8} \times 10^{-3} = 10^{-11}\)
$$ \Delta\rho = 420 \times 10^{-11} = 4.2 \times 10^{-9} \text{ Ω·m} $$抵抗率 \(\rho\) の温度変化の式 \(\rho = \rho_0(1 + \alpha \Delta T)\) は、抵抗 \(R\) にもそのまま適用できます。\(R = \rho L / S\) で導体の長さ \(L\) と断面積 \(S\) が温度でほぼ変化しないとみなせるので：
$$ R = R_0(1 + \alpha \Delta T) $$同じ温度係数 \(\alpha\) を使って抵抗の温度変化も計算できます。
指数計算では係数と指数を分けて処理するのがコツです。\(2.5 \times 4.2 \times 40 = 420 = 4.2 \times 10^2\) と整理し、指数部分 \(10^{-11}\) と合わせて \(4.2 \times 10^{-9}\) を導きます。