直感的理解

2つの電池と3つの抵抗を含む回路で、各抵抗に流れる電流を求めます。キルヒホッフの法則I（接続点）とII（閉回路）を使って連立方程式を立てます。スライダーで抵抗値を変えて電流の変化を確認しましょう。

Step 1：電流の方向を仮定

各抵抗に流れる電流 $I_1$, $I_2$, $I_3$ の向きを仮定します。

Step 2：第1法則（節点の式）

$$ I_1 + I_2 = I_3 $$

Step 3：第2法則（回路の式）

2つの閉回路について：

$$ E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3 $$ $$ E_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3 $$

Step 4：数値例（$E_1 = 6$ V, $E_2 = 4$ V, $R_1 = 2$ Ω, $R_2 = 4$ Ω, $R_3 = 3$ Ω）

①を②③に代入：

$$ 6 = 2I_1 + 3(I_1 + I_2) = 5I_1 + 3I_2 \quad \cdots(1) $$ $$ 4 = 4I_2 + 3(I_1 + I_2) = 3I_1 + 7I_2 \quad \cdots(2) $$

(1)×7 − (2)×3：$42 - 12 = 35I_1 - 9I_1 = 26I_1$ → $I_1 = 30/26 \fallingdotseq 1.15$ A

数値計算の確認：抵抗 10 Ω に電流 0.50 A が流れるとき、電圧は $V = IR = 0.50 \times 10 = 5.0$ V、消費電力は $P = I^2 R = 0.50^2 \times 10 = 2.5$ W です。

答え：
連立方程式を解いて各抵抗の電流の大きさと向きを求める。3つの未知数に3つの方程式で一意に解けます。

📐 行列式を使った一般解

連立方程式の解は行列式（クラメルの公式）で表せます：

$$ I_1 = \frac{E_1(R_2 + R_3) - E_2 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} $$ $$ I_2 = \frac{E_2(R_1 + R_3) - E_1 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} $$

分母 $D = R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3$ は常に正なので、解は一意に決まります。

Point

キルヒホッフの法則は「電荷保存（第1法則）」と「エネルギー保存（第2法則）」の物理的表現です。スライダーで $R_3$ を変えると電流配分が変わる様子を確認できます。

教科書（物理） 問b：キルヒホッフの法則

教科書（物理）問b：キルヒホッフの法則