電池 B（9.0 V）は電池 A（3.0 V）より 3 倍の起電力を持っています。電池 B の枝のほうが強く電流を駆動するため、中央の 6.0 \(\Omega\) には両方の電池から電流が流れ込みます。例題8 と同様に、電池 A の枝では電流が逆流する可能性があります。
各枝の電流を \(I_1\)（左枝・下向き仮定）、\(I_2\)（右枝・下向き仮定）、\(I_3\)（中央枝・下向き仮定）とおきます。
キルヒホッフの第1法則（分岐点 a）：
$$I_1 + I_2 = I_3 \quad \cdots (1)$$キルヒホッフの第2法則（Loop 1：左の閉回路を時計回り）：
$$3.0 = 1.5 \, I_1 + 6.0 \, I_3 \quad \cdots (2)$$キルヒホッフの第2法則（Loop 2：右の閉回路を時計回り）：
$$9.0 = 3.0 \, I_2 + 6.0 \, I_3 \quad \cdots (3)$$連立方程式を解く：
式 (1) より \(I_1 = I_3 - I_2\) を式 (2) に代入：
$$3.0 = 1.5(I_3 - I_2) + 6.0 \, I_3 = 7.5 \, I_3 - 1.5 \, I_2$$ $$2.0 = 5.0 \, I_3 - I_2 \quad \cdots (4)$$式 (3) より：
$$I_2 = \frac{9.0 - 6.0 \, I_3}{3.0} = 3.0 - 2.0 \, I_3 \quad \cdots (5)$$式 (5) を式 (4) に代入：
$$2.0 = 5.0 \, I_3 - (3.0 - 2.0 \, I_3) = 7.0 \, I_3 - 3.0$$ $$5.0 = 7.0 \, I_3$$ $$\boldsymbol{I_3 = \frac{5}{7} \fallingdotseq 0.71 \, \text{A}}$$式 (5) に代入して \(I_2\) を求める：
$$I_2 = 3.0 - 2.0 \times \frac{5}{7} = 3.0 - \frac{10}{7} = \frac{21 - 10}{7} = \frac{11}{7} \fallingdotseq 1.6 \, \text{A}$$式 (1) に代入して \(I_1\) を求める：
$$I_1 = I_3 - I_2 = \frac{5}{7} - \frac{11}{7} = -\frac{6}{7} \fallingdotseq -0.86 \, \text{A}$$\(I_1 < 0\) なので、例題8 と同様に電池 A の枝の電流は仮定と逆向き（上向き）です。\(I_2 > 0\) なので 3.0 \(\Omega\) の電流は仮定通り下向きです。
Loop 1 の確認：
$$1.5 \times \left(-\frac{6}{7}\right) + 6.0 \times \frac{5}{7} = -\frac{9}{7} + \frac{30}{7} = \frac{21}{7} = 3.0 \, \text{V} \quad \checkmark$$Loop 2 の確認：
$$3.0 \times \frac{11}{7} + 6.0 \times \frac{5}{7} = \frac{33}{7} + \frac{30}{7} = \frac{63}{7} = 9.0 \, \text{V} \quad \checkmark$$式 (2)(3) と (1) を組み合わせて \(I_1, I_2\) の 2 変数に帰着した後、行列形式で一気に解けます：
$$\begin{pmatrix} 7.5 & -1.5 \\ 0 & 9.0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_3 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.0 \\ 9.0 \end{pmatrix}$$式 (2) を \(I_1 = I_3 - I_2\) で書き換えた形。ここから順に解いても同じ結果が得られます。大学入試では加減法のほうが速いことが多いです。
キルヒホッフの法則の問題では検算が重要。求めた電流値を元の式に代入して矛盾がないか確認する習慣をつけましょう。特に分数が出た場合はケアレスミスが起こりやすいので、少なくとも1つのループで電圧則が成立するか確認するとよいです。